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这样在这个基础上

我们可以讨论

其它的简正模式

第一个

我们看一下

把刚才那个

两端固定弦的情况

推广到其它的波

也是两端固定的情况

但是对其它固定

其它的波

大家看

这是固体

固体一根杆

我把两端固定死

就相当于

两端固定的边界条件 对吧

这样它里边的纵波横波

就要满足两端固定的边界条件

这是固体

再看这是气体

气体用一个细长管

两端封死

于是它两端的位移也是零

所以这也是

两端固定的边界条件

再看光学

光学我一个激光腔

这边一个激光腔

这边一个激光腔

光在这里垂直于反射镜

来回传播

这也是

两端固定的边界条件

所以我把弦的情况

推广到其它的波

其它的介质

这是固体 气体 激光

那么都是同样是两端固定

于是它的空间模式相同

它的频率相同

它的空间模式的表达式

也相同

所以前边那个结论和方法

都可以用到这同样的

边界条件上去

于是空间模式都是同样的

所以尽管它的

介质不一样

尽管波的类型不一样

但它两端固定的条件相同

它得的结果就相同

这是两端固定的其它的波

下面看

其它边界条件下的简正模式

不再区分波的种类了

第一

两端自由

比如说

我空气中一个细长管

两端把它敞开

这样两端就当做自由了

这就是两端自由的边界条件

再看这个

我一个固体

一个细长杆

把它平着一放

这两端也自由了

所以这是两端自由的

边界条件

下面我就画模式图

大家看

我这长度是L

两端自由

它这个地方边界上

应该是波腹

这应该也是波腹

于是这个长度

就相当于两个

波腹到波节的长度

那么我们知道

一个波节到波腹

又一个波节到波腹

相当于两个波节之间的距离

两个波节之间的距离

是波长的一半

所以它就是二分之一λ1等于L

这就是第一种情况

第二种情况

这边还是波腹

我这边必须加上两个波节

才能够形成真正的驻波

于是刚才说这两个合起来

是相当于波节到波节之间距离

这又是一个波节到波节距离

所以是2倍的

波节到波节距离

波节到波节距离是λ2/2

就是2倍的2乘以λ2/2

应该等于长度

于是λ2等于L

这个是λ1等于2L

这λ2等于L

ν2就等于2倍的ν1

这是第二种情况

这是第三种情况

那么这个L长度上

有这个和这个加起来

是波节到波节距离

这两个波节到波节距离

所以一共三个

波节到波节距离

就是3乘以λ3/2等于L

于是λ3就等于λ1/3

ν3等于3倍ν1

于是我们就得到

它的λn等于2L/n

kn等于2π/L

于是空间模式

就是Ancos（nπz/L）

这就是两端自由的边界条件

它对应的空间模式

下面是一端固定

一端自由

比如说一个细杆

我把它这端固定死

这端不加限制

这就是一端固定一端自由

这个是一根弦

这端固定

这端套在一个细杆上

细杆有个小的环

它可以在这上自由滑动

忽略摩擦

这边就是自由的

所以这是

一端固定一端自由

这是空气

这个管这段子封死

这边开口

这是一端固定

一端自由

这就是一端固定

一端自由的边界条件

我们画出它的空间模式图来

找出它的空间模式的规律

第一个模式图

固定于是固定端应该是波节

这边是自由

自由端应该是波腹

于是这就是一个

波节到波腹

我们前边说了

波节到波腹

它的长度是波长的1/4

于是λ1/4等于L

λ1等于4L

ν1等于v除以4L

这是第一种情况

第二种情况

我这里又加一个波节

于是这是波节到波腹

这是两倍的波节到波腹

所以一共是

3倍的波节到波腹

就是3倍的λ2/4

应该等于L

于是λ2等于λ1/3

ν2等于3倍的ν1

再看第三种情况

这有两个波节

于是整个的长度

有一个两个三个四个五个

五个波节到波腹

于是5倍的λ3/4等于L

λ3就等于λ1/5

于是ν3等于5倍的ν1

所以这也不再是

1 2 3 4 5的关系了

是1 3 5的关系

于是λn等于4L/（2n-1）

kn等于（2n-1）π/2L

所以空间模式

就是Ansin[(2n-1)πz/2L]

这就是这种情况下的

模式图

于是得到了我们对应的

空间模式

说明以上驻波都是自由驻波

就是没有波源的

自由振动的

一个自由驻波

不是受迫的波动

固定端全反射

入、反波引起的振动位相

是相反的

合振动为零

所以固定端它一定是波节

我们前面

一说固定端就说它波节

为什么

就因为

当你这个波入射到

固定端的时候

我们曾经说过

固定端的反射是全反射

所以入射波的振幅

等于反射波的振幅

入射波振幅等于反射波振幅

传播方向又相反

然后又怎么样呢

它位相差正好是反向的

因此

它在固定端一定是波节

那么自由端也是全反射

入射波 反射波

振幅相同

传播方向相反

但是在自由端的时候

它位相差是零

所以它入射 反射的波

在这个反射地方

它是同相的

所以在自由端

它一定叠加起来是波腹

形成驻波的物理机制

我们来看一下

以两端固定的细杆为例

比如说这个细杆

两端固定

我把它敲击一下

于是在细管里头

就可以出现

各种频率的简谐波

那么这个简谐波传到

两端固定

我传到这个地方

于是就有个反射波

这个入射波跟反射波

在这儿形成波节

那么它到了这一点

它又有个入射 反射

它又要形成波节

但是我们知道

当你长度不合适的时候

在这形成波节

在这儿可形成不了波节

于是

这个波

它满足不了边界条件

它在这儿能量就损失了

所以这样的波

它不能够长久存在

它要消失

那么它的能量

转化给别的波

转化成什么波呢

就是到这儿可以形成波节

到这儿也可以形成波节

这样的波

才可以长久在这儿存在

所以这样的波

就成为了它的什么呢

成为它的单频的驻波

而实际的波

是存留下来的

各个单频驻波的叠加

就形成了它的实际的波动

所以这就是我们说的

它为什么可以实现这种情况

就是它的物理机制

所以它最后

形成了一个稳定的

一个驻波的波动

这个驻波波动

是各个满足条件的

单频驻波的叠加