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第五章 角动量

第一节

质点角动量

质点角动量定理

我们现在讨论

第三个运动定理

就是角动量定理

那么我们发现

我们前面讨论了

力的一些作用之后

还有力的作用没有讨论

什么没有讨论呢

力有转动作用

我们用力矩来表示

力的转动作用大家看

这是一个细杆

放在光滑水平线上

有一个力作用它一端

那么在力的作用下

这个杆有质心的运动

还有绕着质心的转动

所以这里面有个转动作用

我们再看这个

同样一个细杆

放在光滑水平面上

有两个力

大小相等 方向相反

但是分别作用在两端

于是它的力的矢量和是0

质心不动

但是绕着它的质心有个转动

我们最后再看

力对质点也有转动作用

在这个力的作用下

质点是这样的运动

那么对于这个点来说

也有一个转动

所以我们发现

力有转动作用

而这种转动作用

我们还没有描述

所以我们还要继续讨论

首先我们看

力矩和角动量

又称为动量矩

力的转动作用

用什么来描述呢

我们用力矩来描述

下面就要讨论

力矩的具体表达形式

首先看

对固定点的矩

那么先讨论力

对固定点O之矩

我们现在呢

有一个拉杆天线

这是拉杆天线

拉杆天线一端固定在O点

整个拉杆天线

可以绕着O点随意旋转

现在我用这个力F

拉着拉杆天线的一端

于是拉杆天线

就发生了转动

在哪个平面上转动呢

在力和这失径

构成的平面上π上转动

这个转动我们来看一下

它的这个规律

实验规律

为我们讨论力矩

做一个准备

我们发现这个力

如果是径向的力

对这个转动

一点作用没有

只有横向力

才对转动有作用

这是第一个看法

横向力才对转动有作用

其次我们发现

当你这力的作用点

离着这个原点O越近的时候

它的这个转动作用越小

离的越远转动作用越大

所以转动作用

还跟力的作用点

到这个原点距离有关系

我们再看到

这个转动是有方向的

这个方向类似我们在定义

角速度的时候

那方向很类似

我们的角速度的方向

怎么定义的呢

角速度是跟转动平面垂直

跟转动方向右手关系

同样我这有一个转动

于是我描述这转动的力矩

那么也可以有方向

它的方向

也是垂直转动平面

然后它跟我这个

转动方向右手关系

我们力矩用M来表示

所以它就是这样一个

力矩的大概的意思

大概的雏形就有了

那么力矩又有大小又有方向

我们应该用一个矢量

来描述力矩

矢量的方向

就垂直转动平面

然后跟转动方向呈右手关系

在我们具体

确定它的形式之前

我们先看一下

力它所起的作用

力所起的作用

用力的矢量的乘法可以描述

我们回顾一下总结一下

力它的作用的描述

我们发现

这些作用的描述

都以力为基础

所以牛顿力学

把力作为描述相互作用的

最基本的物理量

是非常的英明的

因为它是

最基本的一个描述方法

我们看力作为矢量

矢量我们曾经讲过

矢量有三种乘法

一种是标量乘以矢量

一种是矢量的点积

一种是矢量的叉积

我们前边已经有了

标量乘以矢量

就是元冲量用dt乘以时间

那么乘出来还是个矢量

是个元冲量

它代表了时间的效果

我们前边讨论

功和能的时候

又一个乘法

就是力点上它的位移

F点dr

这是一个标积

就是矢量的第二种乘法

它表示元功

它是一个标量

表示了力的空间移动效果

还剩下一个

就是叉积

那么叉积

我们就用来描述力矩

所以从各种方面分析

我们断定

或者我们确定

我们引入力的转动效果

力矩的表示

是用叉积来表示

那么我们定义

力对固定点O的矩

Mo 角标o表示是取矩质点

简写为M

就是力矩等于r×F

r是力的作用点的失径

r×F就定义为力矩

这种叉积

正好符合我们前面的讨论

它的大小

等于它的横向力乘以r

矢径的长度r

正好是横向力起作用

而且跟距离有关

距离越大

它的力矩越大

再看方向

方向是跟这个

因为你一叉积

就跟r和F构成的平面太垂直

与转动方向成右手关系

所以正好

我们这么定义这个叉积

来用叉积来定义力矩

正好把力的

三种乘法都用到了

正好满足我们前边

用实验来确定的

应该具有的性质

大家看

这就是O点

固定点O

这个是力的作用点

这是它的失径

r×F就是代表着力矩作用

它的大小等于

力乘以失径的长度

还乘以夹角的正旋，

那么失径长度乘以夹角正旋

正好等于这个距离d

所以它又等于力乘以d

d就是我们通常所说的力臂

就是力矩的大小

等于力乘以力臂

当这个F沿着这个方向

移动的时候

力臂不变

转动方向不变

力矩大小也不变

所以M不变

因此

当力沿着作用方向移动的时候

力矩保持不变

我们看力矩的性质

首先它是矢量

它是叉积引起的

所以它仍然是个矢量

刚才我们说了

F在它作用线上移动滑移的时候

力矩不变

所以力矩并不是改变

我们称为力

可以是一个滑移矢量

F的力矩

等于F各个分力的力矩之和

因为力可以分解

所以它有这个性质

如果力通过原点

就是力的作用线通过原点

于是它的力矩是0

这一个很重要的性质

力的作用线如果通过原点的话

力矩是0

我们看到r×

就是用失径去差矢量

我们就称为对O点取矩

r×F就是力对O点取矩

是力矩

那么任意的矢量

都可以对O点取矩

用谁呢

如果矢量在这儿

这O点在这儿

它的这个A矢量

它的作用点在这儿

作用点的失径是r

于是r×A

就是任意矢量A

对原点取矩

所以我们称为r×

这个作用

就是一个取矩的过程

对谁取矩呢

对原点O取矩

所以我们要注意

我们对某点取矩

必须先指明这个点

而且把这个点选作原点

于是r×就是对这点取矩

既然任意矢量都可以对O点取矩

我们现在就讨论

动量对O点之矩

为什么要讨论动量对O点之矩呢

因为

力和动量是对应的

那么现在力取矩了

我们动量也要取矩

来和力矩对应

所以我们动量对O之矩

与M类似

动量P对O之矩

称为动量矩

又称为角动量

即为Lo

o表示是对O之矩

可以简写称L

于是角动量L就等于r×P

我们下面看

力矩和角动量的解析运算

力矩和角动量

都是用矢量形式写成的公式

我们现在建立坐标系以后

就可以进行解析运算

这就是力矩等于r×F

我们前面讲矢量叉积的时候

曾经把它的解析式写出来

大家看就是这个形式

为了便于记忆

我们用一个行列式来写出来

上边是坐标系的三个单位矢量

你是r×F

于是r的三个分量x y z

写在第二行

最后是F的三个分量

写在第三行

于是这个行列式

就代表了

这个M的一个解析关系的

计算公式

类似角动量等于r×P

可以写成这个解析形式

也可以写成

一个行列式的形式

这里边第三行

就是P的三个分量

Px Py Pz