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Video课程教案、知识点、字幕

七

波的能量密度

从动力学角度来看

波传播的是能量和动量

首先看波的能量密度

什么是波的能量密度呢

波动介质中

比如这个介质波动

比如这个空气里有声波

我一敲这桌子以后

这桌子有波动

所以这就是波动介质里面

单位体积内

就是你取单位体积内

由于波动引起的介质的能量

就叫做它的波动的能量密度

就是波动介质里面

单位体积里边

由于波动而引起的能量

就叫做波的能量密度

我们来看动能密度

动能密度的话

密度我们都用小写字母来表示

小写的ek就是动能密度

我们可以证明

它等于ρu²/2

u还记得吗

这u是指的介质的振动速度

所以介质振动速度

等于∂ξ/∂t

所以等于二分之一

ρ乘以∂ξ/∂t的平方

这是动能密度

为什么它动能密度这么大呢

我们找一个质元

它质元的体积是Δv

它很小

认为它的振动速度

都相同是u

于是它的动能就等于

它的质量乘以它的速度平方

再除以2

那么这是什么呢

这是Δv由于波动引起的动能

把这个除以体积

就得到了ρu²/2

就是这个结果

所以动能密度

是等于ρu²/2

等于二分之一

ρ乘以∂ξ/∂t的平方

ξ是这个质点的位移

由第六章第一节固体形变

我们知道

应变它具有的势能密度

它的正应变或者线应变

它的势能密度

是二分之一的应力乘应变

那么应力乘应变

就可以写成

杨氏模量乘以应变的平方

那么应变就是∂ξ/∂z

所以纵波就是线应变

它的势能密度

等于二分之一的杨氏模量

乘以∂ξ/∂z的平方

那么

体应变的势能密度

应该等于二分之K

乘以∂ξ/∂z的平方

那么横波切应变

或者剪应变

它的势能密度

又是二分之一的

应力乘以应变

等于二分之一的G

乘以∂ξ/∂z的平方

弦上横波的势能密度

可以推导出来

它等于二分之一的

T乘以∂ξ/∂z的平方

所以我们看到

势能密度

都是跟位移对空间的一个

偏导数的平方成正比

前边有不同的系数

杨氏模量

体弹性模量

剪切模量

还有张力

就是有这些东西

那么我为了统一起见

我们怎么样呢

我们这些个量

它都跟波速有关

比如说

这个纵波的波速

等于根号下Y除以ρ

所以Y就等于ρv²

同样K也等于ρv²

所以可以统一写成

ρv²/2

(∂ξ/∂z)²

那么整个的

波的机械能密度

就等于它的动能密度

加上势能密度

等于二分之一ρ

v²(∂ξ/∂z)²

加上(∂ξ/∂t)的平方

这就是我们的

波动的能量密度

这是总的波的情况

那么现在看一维的平面波

对于一维的平面波来说

我们可以证明

它的动能密度等于势能密度

也就是说

它的机械能密度

等于2倍的动能密度

也等于2倍的势能密度

因为一维的平面波

它的ξ可以写成

f（z±vt）的形式

然后这样的话可以证明

∂f/∂t

等于±v(∂f/∂z)

所以这个如果是一个普遍的

一维的平面波

它对t的导数就等于

v乘以它对z的导数

于是这就是v²(∂ξ/∂z)²

所以这两项是相等的

因此

对于一维的平面波

它的动能密度等于势能密度

这是普遍的一维平面波

如果是简谐波

简谐波可以直接计算出来

它的ξ等于Acos（ωt-kz+ф）

等于Acosψ

于是ek就等于ep

ek就等于二分之一ρ

乘以它的速度平方

它的速度对它求一次导数

它的速度等于负的ωA

sin(ωt-kt+ф)

于是我们就得到了

是二分之一ρω²A²

sinψ平方

这就是我们得到的

对于平面简谐波

它的动能和势能是相同的

就是这个结果

注意

它是跟ρω²A²成正比

那么机械能就等于动能的2倍

结果就等于这个结果

把这个结果用一下倍角公式

就可以写成这种形式

（1-cos2ψ）乘以二分之一ρ

ω²A²

所以动能密度势能密度

和机械能密度都是波动

它的波速是v

频率是2ω

波长是λ/2

这就是我们讨论的

波动的能量密度

那么我们再分析一下

在波动中每一个小段

或者每一个质元

都是开放系统

它外力做功

使得它的能量变化

前边传播能量进来

它又向后边输出能量

这样的话

它的ek等于ep

它的动能跟势能之间

不发生转化

它不是动能跟势能的转化

而前边传来能量

它又传到后边去

它没有动能势能的转化

我们看一下这是波形图

那么当位移到达最大地方

无论是到峰值

还是谷值的地方

那么在这些位置

它的振动速度是零

它的应变也是零

也就是说

它在这儿的切线是水平的

所以

在这个地方

它的动能密度是零

势能密度也是零

那么

我们再看

它到了平衡点

它的振动速度最大

它的变形也最大

所以在这个地方

它的动能密度

势能密度

和机械能密度都是最大

这和简谐振动不一样

简谐振动

它的势能是和位移成正比

所以当它到了它最远的地方

振动最远的地方

那么它的势能最大

那个地方动能是零

当它到了平衡位置的时候

它的势能是零

它的动能最大

而我们波动的时候

它的势能是跟应变成正比

应变是跟它的

位移的导数成正比

它并不跟位移成正比

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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