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首先看

相对论质点动能定理

由能量转化守恒定律

质点的能量E

在外界做功情况下

它会有增加的

在质点粒子本身不变的情况下

那么增加的就是它的动能

于是相对论的质点动能定理

就是合力对质点做的功

等于它动能的增量

微分形式

就是dE就是总能量的微分

等于它的动能的微分

等于力做的元功

积分形式

就是能量的增量

就等于动能的增量

等于力做的功

这个是

相对论质点的动能定理的表达

和牛顿力学的动能定理的表达

完全相同

区别在于动能的形式不一样

那么下面我们来看一下

这力做的功

如何的描述

那么相对论中

定义F的元功和牛顿定理一样

仍然是F·dr

dr是质点的元位移

于是质点动能定理

就可以写成一个明确的形式

能量的微分等于动能的微分

等于合力做的元功

或者是积分形式

就是它能量的增量

等于动能的增量

等于合力做的功

这是我们说的

相对论的动能定理

下面看一下相对论能量

由dm/dt等于F·v/c²

就是我们前边说的

一个重要的关系

就是相对论质量

对时间的变化率

等于F·v/c²

这样的话F·dr

dr就可以写成vdt

把这个代进来

于是这个dt

跟dm除以dt的dt约掉了

结果就等于c²dm

c是常数

可以放到微分号里面去

结果就等于d（mc²）

所以dEk等于d（mc²）

两边一积分

就得到了

Ek等于mc²-m0c²

就是这个形式

这就是相对论的

动能的表达式

它等于相对论质量乘以c²

减去静质量乘以c²

那么爱因斯坦

就把这个

取作质量为m的质点的总能量

于是

这个就是它的静止能量

这样的话

这动能就有了解释了

动能就等于总能量

减去它静止能量

就是它的动能

那么于是就得到了最著名的

质能关系式

E=mc²

mc²是质量为m质点的

相对论总能量

一些微观粒子的产生

或是湮灭的事例

都验证了这个关系式

比如说

一个分子吸收一个光子

光子消失了

那么它就全部转化为能量

再成为分子的总能量

就是体现了这个关系式

说明了爱因斯坦假设的正确性

这个关系式

是相对论力学的最重要的成就

它在自然科学理论中的重要性

它的优美与简洁

是无论如何评价都不过分的

大家看它不但重要

而且非常的简洁

简洁就是美 对吧

所以它又是非常优美的

所以它的重要性

无论如何估计

都是不过分的

于是我们就有了

相对论质量的另一个定义

相对论质量

就等于相对论能量除以c²

静能E0

静止能量

就是E0等于m0c²

动能就等于总能量减去静能

等于mc²-m0c²

我们看一下

这个动能的表达式

和牛顿力学动能表达式很不相同

但是在v小于小于c的时候

它确是可以近似的

我们看

把这个m0c²提出来

于是前边就变成了

（1-v²/c²）的

负二分之一次方减1

然后因为v小于小于c

可以把这一项

近似为1加上

v²/2c²减1

于是我们就得到了

在v小于小于c的时候

它的动能就等于

m0v²/2

约等于二分之牛顿质量

乘以v²

所以这就跟牛顿的

力学里边动能关系式

是完全相符

孤立系统能量守恒

对应着孤立系统的质量守恒

孤立的质点系有n个质点

m1 m2 mn

我如果忽略粒子之间的相互作用能

就是这些粒子之间

可能有非常弱的相互作用

但这个是完全可以忽略不计的

太小了

所以我们忽略了

粒子之间的相互作用

于是孤立的质点系的

总的能量

就等于每个质点的能量的和

每个质点的能量

都可以写成mic²的形式

c是常数提出来

就是等于是总的质量乘以c²

所以我的总能量守恒

就推出来总的质量守恒

这就是孤立系统能量守恒

对应着孤立系统的

相对论质量守恒

那么注意

这是相对论质量守恒

不是静质量守恒

我们经典物理里边的质量守恒

指的是静质量牛顿质量守恒

这只有在一般的

低能的情况下

比如说化学反应

或者其它一些低能过程中

什么吸收光子或者激发等等

才成立的

近似不变

在一些核反应里面

它就不能够守恒了

静质量就不守恒了

下面我们看一下

如果静质量明显减少

那么也就是称为质量亏损的话

它就是把这些能量就释放出来

变成了动能

我们来看一下这个关系

第一 静能的概念

什么是静能呢

就是粒子

比如说分子 原子等等

在质心静止状态下

粒子所具有的总能

就称做静能

就是它整个的大粒子

质心不动

那么它具有的能量

就叫做静能

那么它的质心不动

这是它是静能

包括什么呢

这个静能就包含了

组成它的这些个更小的粒子

它的能量

所以这个总的静能

包含了这些小粒子的总的能量

也就是它的什么动能

静能等等

还包含什么呢

包含这些个

小粒子之间的相互作用能

这个相互作用能是不能忽略的

因为这个相互作用能

相当于结合能

它为什么能结合成一个大粒子

因为它有很强的相互作用

所以这个结合能

是不能忽略的

粒子如果不变

那么静能就不变

比如它运动起来

它的粒子本身不变

所以它的静能是不变的

也就是它的静止质量是不变的

但是如果它被激发

那么它的总能跟静能

都发生了改变

所以它被激发了以后

它就不再是原来的粒子了

它就是一个新的粒子

于是它的静能跟静质量

都发生了变化

发生粒子反应

就是这个大粒子被破坏了

那么小粒子重新组合

组合成新的粒子

于是这个时候

我就可能出现了

静止质量的一个改变

那么静止质量改变以后

也就是说

它的静能发生变化之后

那么就释放出来

就变成了动能

所以这就是我们说的

静止质量亏损

然后释放出来

变成了动能

我们现在具体讨论一下

假如若干粒子组成的孤立系统

发生了粒子反应

忽略粒子间的互相作用

于是反应之前的粒子

这都是反应之前的

然后反应之后的粒子

反应之后的

那么由孤立系统能量守恒

那么反应之前的总能量

等于反应之后的总能量

忽略了粒子之间的相互作用能

于是反应之前的

每个粒子的能量

就等于它的静能加上它的动能

这是反应之前的

这是反应之后的

每个粒子的静能加上它的动能

那么我们来看

我们说质量亏损

指的什么呢

就应该是

指静止质量增量的绝对值

静止质量的增量本身应该等于

反应之后的静止质量

减去反应之前的静止质量

现在你加上绝对值

它是反应之后的静止质量小

这个反应之前的静止质量大

所以加了绝对值之后

就变成了

反应之前的静止质量

减去反应之后的静止质量

这就是加了绝对值

加了绝对值以后

就不叫静止质量的增量了

叫静止质量的亏损

于是反应之前的

减去反应之后的

那么大家看

我把这一项挪过去

挪到这儿来

于是就把这一项挪到这儿来

这个就右边变成了

反应之后的动能

减去反应之前的动能

反应之后的动能

减去反应之前的动能

就是动能的增量

所以我们看到

亏损的静止质量乘以c²

就应该等于谁呢

等于反应前后的动能的增量

所以

反应前后动能增量

就应该等于

亏损的静质量乘以c²

也就是系统静能的减少

等于系统动能的增加

有了这个关系

我们就可以讨论许多问题

比如说

化学反应 激发 电离等等

最外层的电子的电子态

发生了变化

这个时候

它的静止能量的改变

是多少呢

是几个电子伏特

那么一般的粒子

静止能量大概都是什么呢

是Gev电子伏特

或者G电子伏特

这是10的9次方

那么比如说质子

它的静能

是0.9G电子伏特

这样的话

它能量的改变

静止能量的改变

除以它的静质能

就非常小了

那么等于多少呢

就等于10的负9到10的负11

静质能除以总能就相当于

静止质量的增量

除以总的静止质量

所以它除它

就等于它除它

大约是10的负9

到10的负11次方

所以在这种情况下

化学反应 激发 电离等等

这样的话

引起的静止质量的改变

完全可以忽略不计

所以我们说

静止质量守恒

就是在这种条件下

可是如果粒子反应就不一样了

比如说热核反应

使氘和氚结合成He

大家看这方程

氘加上氚生成He

加上中子

然后释放出动能来

那么这些个

都是我们说的大粒子

就是氘 氚 He是大粒子

它是谁呢

由更小的粒子

是中子 质子构成的

那么中子 质子的结合能

在这个热核反应里头

被释放出来

就变成了动能

我们来计算一下

静质量亏损

静质量亏损

等于反应之前的静质量

减去反应之后的静质量

结果是这么大

3.11乘以10的负29次方公斤

于是

释放出来的动能

就等于亏损的静质量

乘以c方

等于2.8乘以10的负12次方焦耳

看起来不大

其实这是相当大的

因为什么呢

因为我静质量亏损除以静质量

大概是10的负2

咱们前边说的化学反应等等

是10的负9到10的负11

所以这远远超过它们的改变量

所以这是相当大的

因此一公斤的氘和氚放的热量

等于10的7次方公斤煤的燃烧热

所以这热核反应

就是因为静质量亏损

然后放出大量的动能

也就是热能

我们再看一个例子

静止质量为m0的质点

从静止开始

在恒力F的作用下运动

第一个求t时刻的v

第二个求质点运动x距离的时候

它的能量是多少

第三个求t时刻的位移 xt

我们现在看

其实这就是我们前边举那例子

我们前边举的例子

我们只计算了它的速度

所以速度是已知的

t时刻的速度是已知的

其中我们把F除以m0

用一个b来表示

写的简单一些

所以我们真正计算是计算2跟3

第一前边已经计算了

那么能量的增量

应该等于末态能量

减去初态能量

初态能量静止不动是静能

等于谁呢

等于力做的功

力是常力

所以做功就等于F乘以x

于是移动的距离x之后

这个能量

就等于它的静能加上Fx

所以一步就把这个求出来了

我们现在再看

要想求t时刻的位移

速度有了

那么当然把速度一积分

就是它的位移

积分出来结果

是这个结果

那么我们用的积分办法来求

能不能有更简单办法呢

其实有的

我们用什么呢

t时刻质点的速率

这是已知的

于是我们这个

你不是要求位移嘛

我位移x的时候

那么它的能量的增量是这么大

于是这个e就等于mc²

m是等于m0除以根号下

1-v²/c²

这个v我是已经知道了

所以这一项就已知了

然后这两个一减

这个整个可以算的出来

结果算出来是这个结果

这样的话我要想求x

把F一除过来

就求出来了

所以你直接用这个关系式

就可以把x求出来

于是x等于这个结果

跟它应该是一致的