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下面我们看

如何用牛顿定律

得到万有引力定律

那么按牛顿的力学体系

已知运动规律

这就是指的行星运动规律

来求它的作用力的问题

所以属于牛顿力学的

这样一个已知运动

来求力的

这样一个实际问题

牛顿在1666年

提出了万有引力定律

并且在1687年发表了

我们看他推论的过程

当然他推论方法

跟我们现在不太一样

我们现在直接用微积分来推导

他当时并不是这样做的

但是他也做了推论

推论太阳引力

是径向平方反比力

这是第一个要推论的

我们来看呢

我们采用平面极坐标

对于这个问题来说

平面极坐标是个合适的坐标系

太阳位于椭圆的一个焦点上

那么行星m在椭圆轨道上运动

大家看这是椭圆运动

从这点到这点是远日点

就是距离最大的

我们把它叫r1

这点到这点是近日点

是矢径最短的

我们叫r2

这一个半长轴

从原点到这个椭圆的这个长度

是半长轴

大家一看图就可以知道

半长轴a是等于r1加r2除以2

这是我们看到的一个结果

再看这个长度

从这点到圆点叫做偏心距

用c来表示

大家一看这图就知道

c等于r1 这是r1

减去r2 再除以2

这是它们之间的联系

我们由开普勒第二定律

开普勒第二定律是说

这个矢径扫过的面积

它的面积速度是常数

面积速度就是dt内

扫过的面积dA

dA除以dt这是面积速度

等于二分之r平方θ一点

以dt时间内

转过一个小角度

这个角度的话

假设是θ dθ

于是这个面积

就是二分之一r平方dθ

再除以dt

dθ就变成了θ一点

所以面积速度

等于二分之r平方θ一点

这是常数

我们现在定义

定义h等于r平方θ一点

它是常数

当然h就是常数

我们看平面极坐标系的

横向的加速度

等于rθ两点

加上2倍的r一点θ一点

它又可以写成谁呢

写成r分之一

r平方θ一点的导数

现在r平方θ一点是常数

所以这对时间的导数就是零

因此横向加速度就是零

所以就由开普勒第二定律

我们就知道

它的横向力是零

所以万有引力是一个径向力

横向力是零

我们再由开普勒定律1

它是椭圆运动

用极坐标

来表示一个椭圆方程的话

是r等于P除以1减ecos θ

其中P跟e都是常数

是取决于椭圆轨道的两个常数

其中e是小于1大于零的

这都是常数

这就是椭圆轨道的

极坐标方程

我们下面要求谁呢

要求r一点和r两点

就是r对时间的一阶导数

跟二阶导数

目的是要求什么呢

是要求径向加速度

因为径向加速度里

有r对时间的一阶导数

和r对时间的二阶导数

所以我们要进行计算

它对时间的一阶导数

先是分母的平方

然后加个负号

我们还记得那个公式吧

v分之一对S导数

等于负的v方分之v对S导数

所以先把分母平方

然后再把它

前面还有个负号

再把它对什么呢

对t求导

对t求导的时候

这是零

cos θ它对t求导

先是变成了负的sin θ

然后θ在对什么呢

在对t求导

所以分三步

最后是这个结果

所以我们的公式

是处处要用到的

这个dθ/dt怎么办

怎么办呢

我们前面还记得

我们刚才定义

h等于r方θ一点　对吧

所以dθ/dt

就等于h除以r方

把这个θ一点

dθ/dt等于h除以r平方代进去

代进去的话

最后就得到这个结果

代进去之后

那么它都约掉了

最后结果是

负的hesin θ除以P

所以r一点先求导得这个结果

再把这个用h除以r平方代进去

最后就得到这个结果

非常简单

我们再对它求导

对它求导就等于sin θ对t求导

于是就变成了cos θ

然后θ一点

这个θ一点就不再代了

有这两个

就可以求出径向加速度来

径向加速度等于r两点

减去rθ一点平方

把这个结果带进去

于是整理一下

变成了负的hθ一点

ecos θ除以P加上r分之一

r等于谁呢 等于这个

把这个这一折个

大家看就变成了什么呢

p分之1减ecos θ

正好跟这约掉

于是最后结果

等于负的h平方除以pr平方

大家看这个径向加速度

是这个结果

于是径向力

就是跟r平方有关系了

这个是跟r平方成反比了

但是这个系数

h平方除以P是什么样呢

是不是还跟那个

行星本身有关系呢

是我们下面要讨论的

大家看这就是结果

然后这就是负的mh

这都是常数　

对吧　都是常数

所以它跟r平方成反比

而且是负的

表示是一个引力

下面看这个h的平方除以p

虽然是常数

但是它是行星的常数

它是不是就是

各个行星不一样呢

我们下面继续讨论

它是不是跟具体的行星有关系

我们用第三定律来讨论

第三定律

是一个行星运动的周期的平方

跟半长轴的立方成正比

所以我们先要求出周期来

因为面积速率是常数

所以我们可以用面积

除以面积速率来得到周期

其中a、b是长、短半轴

长半轴 短半轴

那么我们来看

一个椭圆面积

等于π乘以ab

所以我们来看得到

周期等于椭圆面积

除以面积速率

椭圆面积是πab

面积速率等于多少呢

刚才我们定义了h

是2分之h

那么最后结果是这个结果

这个结果怎么来的呢

我们刚才知道

a是等于2分之r1加r2除以2

对吧 我们再来看这个

a指的是远日点

就是r最大的点

大家从这儿看

θ等于多少的时候

这个r最大呢

显然这个是cos θ等于1

所以就是r1等于p除以1减e

这个最大

然后最小的近日点

等于p除以1加e

所以这是近日点

这是远日点的矢径的长度

把这两个代到这个式子里面里

就看到半长轴等于是

p除以1减e平方

这个偏心距

等于pe除以1减e平方

我们刚才说这是短半轴

短半轴等于多少呢

就是长半轴a平方

应该等于b方加c方

所以b就应该等于

a方减c方开方

把这两个结果代进去

就是这个结果

这个结果

可以写成pa开方的形式

把这个代到这边来

于是最后我们发现

周期等于多少呢

2πp的二分之一次方

a的二分之三次方除以h

我两边平方

平方以后

我把这个a平方除过去

或者把p平方除过来也行

因为我要知道是

h平方跟p的关系

所以两边平方

把h乘过去

把p除过去

把t除过来

于是就得到这个结果

就是h平方除以p

等于4π方a的立方除以T方

我们开普勒第三定律说什么呢

说这个立方除以这个的平方

是与行星无关的常数

对不对

因此我们就看到

看到谁呢

看到这个h平方除以p

是跟行星无关的

太阳系的常数

因此我们最后得到的结果

那么F就跟行星无关了

只是跟距离的平方成反比的

一个关系式

因为前边的系数

都跟行星无关了

是跟行星无关的太阳系的常数

于是F就跟r的平方成反比

所以万有引力

就是一个平方反比有心力

或者径向力