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Video课程教案、知识点、字幕

我们再看一个例子

一个均匀的细的圆杆

这个杆是圆的

它的长度是l

质量是m

它的圆的半径是R

它从水平位置

由静止自由下摆

不计摩擦

摆动过程杆的横截面上

就出现了这个轴向力

切向力

以及内力矩

所以

在这个杆的摆动过程中

它作为一个固体

它的截面上

出现了这么多的内力

那么我们要求什么呢

就求当摆角为θ的时候

在杆上B处

B是什么位置呢

它到圆心距离是r

B处横截面上的轴向力

切向力以及内力矩

并且讨论这个最大的正应力

出现在哪儿

我们现在先做准备工作

以地杆系统我们来

看它的机械能守恒

取水平的时候

为重力势能零点

于是

从初态转到θ角时候的状态

有机械能守恒

初态的时候

势能是零动能是零

转到θ角的时候

动能是二分之Iω平方

势能是这个

于是就可以把角速度求出来

就是转到θ角时候的角速度

是根号下3gsinθ除以l

然后我们再对z轴

应用转动定律

转动定律角加速度就等于

在这一时刻

外力对z轴之矩

除以转动惯量

把这个重力矩和转动惯量

转动惯量等于

三分之ml平方代进去

就把角加速度求出来了

这样的话我们做好了准备工作

就是求出

它自由下摆摆到θ角的时候

它的角速度和角加速度

下面我们就进行计算

计算内力的分布

现在我在这儿

把这个你要求B处的内力

就在B处把它切开

讨论从B到端点这段

作为我们的研究对象

这一点的质心是c′

在它的中点上

F是一个轴向力

轴向力是把这个上边的所有应力

在中心处简化

求出的轴向的主力

那么这个内力矩M是主矩

有一个剪切力就是T

F对质心没有力矩

那么T是这个截面上

所有剪切力的合力

所以我们看到

在固体的杆上

它既有轴向的正压力

或者是线应力

还有剪切力

还有力矩

我们现在假设这段长度是h

因为这是r

所以h等于总长减去r

它的质量我们计作m′

m′等于m除以l

这是线密度乘以它的长度

我们对它质心c′

来应用质心运动定理

切向的运动

它的切向力是T

还有重力的切向力的分力

于是等于它的质量

乘以它切向加速度

切向加速度等于

它的角加速度

乘以这个的距离

这个的距离就到

从原点到质心的距离

乘以它

我们α刚才已经求出来了

所以最后得到这个结果

这就是剪切力

我们求出来了

我们再利用质心运动定理

法向

法向的时候是主力F起作用

还有重力在法向的分力

等于这段的质量乘以它质心的

法向加速度是这个

就是质量乘以ω平方（r+h/2）

于是就可以把

这个主力F求出来

是这个结果

最后我们要求这个力矩

求力矩就要对质心

应用角动量定理

对质心应用角动量定理大家看

刚才说了

F对质心无矩

对质心有矩的

就是这剪切力

然后再加上这个

现在它的内力矩

它应该大家注意

它不是平衡

在这种作用情况下

它有一个转动的角加速度

转动的角加速度就是α

所以在这两个外力矩的作用下

它以α做一个角加速度的运动

所以我们看

对过c′的轴应用角动量定理

这个就刚才说的

剪切力的力矩

对质心力矩

这是内力矩

等于对质心的转动惯量

乘以它的角加速度

角加速度是已知的

那么对质心的转动惯量

是12分之一m′h平方

我们把这个整理一下

两边除以二分之h

于是就是h分之2m等于

六分之m′hα加上T

把T代进来

就得到这个结果

然后再整理一下

最后得到这个结果

由这个结果

我们就把力矩算出来了

内力矩就等于它

这个结果大家看

内力矩跟你这个B点

所在的位置有关

就是到轴心的距离有关

还跟θ角有关

你在摆到不同角度

同一个地点

它的内力矩是不一样

所以它是它们的函数

这样的话横截面上的正应力

可以分成两部分

一部分是均匀分布的正应力

产生了主力

就是刚才说的F

轴向的主力F

还有是这个产生主矩的M的

正应力

这些正应力它的矢量和是零

所以

这个正应力可以分成两部分

一部分产生主力

一部分产生主矩

如果主矩较大的时候

那么也就是

这个正应力

它的最大值比较大的时候

可以忽略均匀的正应力

我们让对这个来求导

对谁来求导呢

对r来求导

就得到当r等于l/3的时候

这个内力矩最大

于是最大内力矩

就等于r等于三分之lθ

等于零

你从这儿也可以看出来θ

等于零的时候它大

所以在r等于三分之lθ

等于零的时候

这个内力矩最大

等于多少呢

27分mgl

这样我们找到了

最大的内力矩所在的位置

就是在杆是水平的时候θ

等于零的时候

它距离这个轴心三分之l地方

这个地方的时候

它的内力矩最大

有了最大的内力矩

我们还要求它的惯性矩

才可以计算最大的应力

杆是半径为R的圆柱形

所以我们来求它的惯性矩

就要对这个圆形做一个积分

dS等于2xdy

然后积分

最后结果是四分之πR的4次方

也就是一个以R为半径的

圆形的一个截面

它的惯性矩

是四分之πR的4次方

我们刚才说

当你的主矩比较大的时候

那么主矩的最大应力比较大

就可以忽略均匀分布的正应力

这样的话

我们不考虑均匀分布的正应力

我们单看它引起主矩的正应力

它的最大值就是

在这个最大的力矩截面上

最远的这两个点

就是它的应力最大值

所以它是

最大的力矩除以Iz

然后再乘以它的边缘处的位置

就是它的最大的正应力

结果是4mgl除以27πR的立方

这样的话

我们就把这个问题解决了

找出了它的主力

主矩

剪切力

并且寻找到了

它的最大正应力

所在的位置及数值

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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