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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们说一下

质心参考系

又叫质心坐标系

质心参考系或者质心坐标系

是个非常特殊的参考系

也是非常重要的一个参考系

我们下面说一下

什么是它的质心系

我们这个质心参考系

和质心坐标系

简称质心系

质心系是以质心为原点

然后建立的一个参考系

我们知道一个参考系必须有方向

那么质心作为原点

质心做参考点的话

方向如何定呢

就是它选择一个直角坐标系

这直角坐标系

在随着质心运动过程中

相对惯性系不转动

这样的一个坐标系

就代表一个质心系

所以它是一个确定的参考系

所以坐标原点在质心

坐标方向相对惯性系不变

不转动

就建立起一个质心参考系

所以质心系

是一个相对惯性系的

一个平动参考系

以惯性系为静止参考系的话

质心系是平动参考系

这样的话

质心参考系和惯性系之间

就有这样的关系

因为它是平动参考系

所以质心系当作绝对参考系的话

就是一个质点的绝对的矢径

等于在质心系的相对矢径

加上质心的矢径

在绝对参考系的一个质点的速度

等于在质心系的相对速度

加上质心的速度

加速度

绝对加速度

等于质心系的加速度

加上质心的加速度

就是这样一个简单关系

注意

它是跟惯性系有这关系

因为它相对惯性系是平动的

选了质心参考系有什么性质呢

第一个

每一个质点的质量

乘以它在质心系的矢径

加起来等于多少

等于零

大家想这是什么道理呢

我们说它在质心系的质量

乘以它质心的坐标

应该等于这个对吧

我们说这个总质量

乘以质心坐标矢径

等于是每个质点的矢径

乘以它的质量之和

所以在质心系里边

质量乘以矢径之和

应该等于总质量

乘以在质心系里边的质心坐标

矢径

而我原点选在质心上

所以在质心系里边

质心的矢径是多少呢

是零

所以你求和之后这项是零

这就是质心系的一个重大特点

就是质心系里面

每个质点的质量

乘以它的质心系的矢径

合起来是零

由这个马上得到下面一个重要结论

什么重要结论呢

我这个两边对谁呢

对t求导

这个是零

这个对t求导

就变成了∑mivi′

就是质量乘以它

在质心系的相对的速度求和

所以这一求和

就等于在质心系里边的总动量

对不对

它一定是零

所以质心系里边

总动量永远是零

因此质心系又叫零动量系

这是质心的重要的两个性质

非常重要的两个性质

以后我们采取质心系

作为参考系的时候

这两个性质总要用到

此外

如果外力矢量和不等于零

那么质心就有加速度

于是它是一个非惯性系

它是非惯性系

相对惯性系来说

它是一个平动非惯性系

所以它惯性力加速度

就是质心加速度

所以第i个质点所受的惯性力

就等于质量乘以质心加速度的负值

最后我们说一下

宇宙质心的参考系

我们说我们把整个宇宙

看作一个系统

那么它的质心确定的话

就是一个宇宙质心的参考系

我们知道按经典力学观点来看

我整个质心

整个宇宙

是不受外力的

它是一个孤立系统

所以它的质心怎么样呢

质心是没有加速度

既然质心没有加速度

所以宇宙质心参考系

就应该是个惯性系

所以

按我们经典力学的观点

宇宙质心参考系

就是我们牛顿力学所假想的

有的这么一个理想的

全宇宙的惯性系

虽然我经典力学

可以把它看作惯性系

但是我能不能实际找到这个参考系呢

是找不到

因为你没办法确定

宇宙的质心在哪儿

没有办法确定宇宙质心在那儿

所以它仍然是一个虚无的

理论上的

全空间的

严格的

标准的惯性系

但是实际上找不到

下面讨论一个例子

一个均匀的柔绳

长度是L

线密度是λ

我抓住柔绳的上端

让它的下端刚好跟桌面接触

然后松手

让这绳子自由落下

这样的话

不断的有绳子落在桌面上

让你求证什么呢

求证在某一时刻

桌面对绳子的支持力

等于落在桌面上的这绳子

所受重力的3倍

我们来讨论

柔绳是指这个绳子内部

只有径向拉力

所以柔绳往下落

它永远是自由落体

那么如果我现在

在某一时刻

它t时刻有一部分绳子长度

在这个这么是b

b长的话

那么现在这个位置

就是有这个关系式

落在桌子上绳的长度b

等于总长度减去

现在这一时刻它上边的坐标

就是b等于L减y

也就是落在这个桌面上的绳子的长度

那么下落速度因为它下落了b

所以下落速度

这一时刻的速度

正好等于根号下2gb

就等于根号下2g乘以L减y

那么落在这上的质量

就等于λb

那么t到t+dt时刻

下落的质量dm

就是在t时刻落在这儿是b

过了dt时间

又一部分落下来了

这个部分的质量我们叫dm

dm等于λv乘以dt

我们看用几个方法来讨论

第一个方法

质点系动量定理

我们先选系统

先选m和dm

就是t时刻已经落下来的这部分

长度为b的这个绳子

作为主体

然后dt时间内

落下来的质量dm

把它两个看作系统

用质点系动量定理来讨论

那么其实这个讨论

就相当于推导密舍尔斯基方程

所以大家看

如果讨论起来的话

就是这样的一个过程

这部分我们就不说了

因为它

相当于推导密舍尔斯基方程

最后得到的解

我们就不再说了

如果大家有兴趣

看一看这个过程

一会儿我们用密舍尔斯基方程来讨论

看一看这个结果多么简明

所以这个方法我们就不讨论了

它相当于推导密舍尔斯基方程

第二个方法

以整个绳子作对象

作为系统来讨论

对t+dt过程

那么以整个绳子为对象

它受到的外力是什么呢

一个是桌面的支持力

一个是绳子整体上所受的重力

这是以绳子为对象

这是负的

我以向上为正

所以N是正的

减去这个

它乘dt

就是它的冲量等于什么呢

等于整个绳子系统

它的动量的增量

那么绳子系统t+dt时刻

它的动量

完全是没有落地的那部分

才具有动量

所以没有落地的这部分

在t+dt时刻

它的长度是y减去vdt

因为它有一段已经落下来了

所以它的长度变小

于是它的质量就是λ乘以它

这时候它的速度多大呢

这时候速度是v+dv

速度变大了

长度变短了

而且注意我这v都是膜都是正数

而它往下落

它的速度是负的

所以前面有个负号

所以这就是t+dt时刻

整个绳子系统的动量

那么t时刻动量多少呢

t时刻

它在桌面上的长度正好是y

所以它的质量就是λ乘y

它的速度是负v

所以这是

末态的整个绳子的动量

减去初态绳子的动量

结果等于-λydv+λv²dt

我把dt除过来

于是N就把它挪过去

N等于λLg

把这个dv除以dt

就等于重力加速度g

所以就等于λyg

所以减去λyg

这个dt约掉

变成λv²

所以结果就这个结果

把这个λg提出来变成L减去y

L-y大家记得吧

正好是b

所以就等于b乘以λ

就是它落在桌面上的质量m乘以g

所以这就是

落在桌面上的绳子的所受重力

加上λv²

v²等于多少呢

v²等于2gb

还记得吧

所以再乘以λ

正好等于2mg

加起来3mg

所以这λv²等于2mg

加起来等于3mg

这是一个方法

我们再看第二种方法

密舍尔斯基方程

以m为主体

就是落在桌面上的绳子作主体

t时刻

因为它落在桌面上

所以它的加速度是零

我们来看

那个密舍尔斯基方程

它所受的这个外力

就是N减去mg

你不以它为主体嘛

就是N-mg

等于谁呢

等于m乘a

这是主体的加速度

加上v′

v′就是附着体

它相对主体的速度

主体的速度是零

所以就是它自己的dm的速度

dm的初速度是v

乘以dm/dt

于是这是零

这个就是λv²

于是N又等于mg+λv²

跟这个一样

又等于3mg

这是用密舍尔斯基方程

大家看

用这个方程

跟我用这个来推导来计算

这就复杂的多了

它等于直接用这个结果

就得到这个结果

所以我们为什么用密舍尔斯基方程

就是把那推导过程省略了

第三个方法

质心运动定理

就是我用质心的运动方程来讨论

以绳为系统

t时刻

y方向

那么就是λLyc

等于λ乘以y再乘以y/2

就我首先要求

它质心的坐标

t时刻求质心的坐标

质心坐标大家想

这是我的那个桌面

有一部分已经落在桌面上

我取桌面作为零点

所以桌面上的y乘以它的质量

是零

所以你求它的质心

只求这部分的质心

就是它总体的质心

那么没有落后下来这个长度是y

于是它就等于λ乘以y

这是它没有落下的

这部分的质量

乘以它的质心就是y/2

就是没有落下部分的质量

乘以它的坐标

它等于谁呢

等于整个的质量

乘以整体的质心坐标

等于它

所以整体的绳子的质心坐标

等于y²/2L

所以我们先把整体绳子的

质心坐标找出来

它在y方向的坐标

质心等于y²/2L

有了它

我们就可以求质心的加速度了

因为质心的运动方程

取决于质心的加速度

我现在对它求导

求导两次

先对它求导一次是2y y一点

然后是除以2L

再求导一次

就得到这个结果

y一点的平方加上y y两点

然后除以L

y一点平方就是v²

y两点就是重力加速度

但是它是正好向下的

所以这是负g 负gy

然后除以L

所以y两点我也计算出来了

我们把yc两点求出来了

yc两点就是质心的加速度

下面我们就应用质心运动方程

就是质心所受的外力的合力

或者外力的矢量和

然后在y方向上

y方向取向上为正

所以N是正的

这是重力

是负的

等于谁呢

等于总的质量乘以质心加速度

这个就是质心运动方程

质心加速度

就是质心的坐标对y的二阶导数

所以等于yc两点

把刚才的结果代进去

就等于这个结果

于是

N就等于λLg-λyg+λv²

又是刚才的结果

最后是3mg

这个方法其实相当于

以整个绳子为系统

来应用动量定理

好这部分就讲完了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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