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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们讨论一下

弦的受迫波动

也就是驻波的应用

受迫波动

我们找个最简单情况

我要维持弦稳定的波动

需要波源

一种受迫的波动

它的波源

它的振动

不是个简谐振动

那么这种情况下

如琴弓在那儿拉

这是一个非周期的情况

那么这个时候

弦是按它的两端固定的

边界条件的特征频率来振动

这是一种也可以叫自激的波动

是这种情况

另一种是外加周期性的策动力

这个时候弦

就按策动力的频率来振动

我们称之为受迫波动

我们主要讨论这个

周期性的策动力的波源

引起的受迫的波动

当然也讨论最简单情况

大家看

这是一个长度为L

这边固定

这边是再一个滑块H上

这个张力是T

在对滑块

我是让它做一个

上下的简谐振动

这个简谐振动是已知的

就是我说的

周期性的策动力的波源

做的简谐振动acosωt

这就是一个波源

这个振动起来

引起弦上横波

我们简单讨论

不去推导什么微分方程

我们直接用驻波的概念

来讨论它

那么这样的话

我们看

左边相当于一个固定的

边界条件

右端相当于做一个简谐振动

所以我们看到

这样的话

满足这个条件的一定是驻波

所以我们就假设

它是一个驻波

而且是以这边为固定端的

也就是节点的

一个单频驻波

于是单频驻波

可以写成

Asinkzcos（ωt+ф）的形式

其中这个关系式

保证了这个固定端

是一个波节

那么还要保证谁呢

保证这一端

它的振动

是按照波源来振动

所以我们是让

右边的边界条件

就是让它的振动

就是sinkL

这就是右边的边界情况

然后乘以它的简谐振动因子

应该等于

这个波源的振动acosωt

于是A就等于

小a除以sinkL的绝对值

那么如果sinkL大于零

这sinkL大于零

那么

这个时候我这ф

就可以取作零

因为这如果大于零

A直接等于a除以sinkL

ф等于零就可以了

如果sinkL小于零

我取绝对值的话

就把那个负号

就给了这一项

所以这一项要把负号吸收进去

于是ф要等于π

这样的话

受迫振动的波函数就有了

就是ξ（z t）

这是它的振幅

再乘以sinkz

再乘以cos（ωt+ф）

这就是它受迫振动的波函数

当sinkL的绝对值等于1的时候

这时候

驻波的振幅最小

因为我们这一项

是在分母上

所以它最小

这个时候

它的振幅是等于a

就是波源的振幅

那么

sinkL的绝对值等于1

相当于右端

就z等于L处是波腹

也就是说

当波源的频率

等于该弦一端固定

一端自由的

空间模式的特征频率的时候

那么受迫振动

就是振幅最小

它是相当于波源的振幅

这就是我们第一种情况

也就是波源处

为驻波的波腹

就是波源的频率

正好等于它弦一端固定

一端自由的时候的

简正频率的时候

这时候

波的这个振幅最小

就是波源的振幅

它整个起来就是这种

按这个振幅来振动的一个波

那么这就是第一种情况

第二种情况极端情况

就是sinkL的绝对值

趋于零的时候

它无限的趋于零的时候

因为它在分母上

这时候驻波的振幅最大

这时候我们称为共振

那么sinkL的绝对值等于零

是右端固定的边界条件

也就是说

当你波源的频率

等于这个弦

两端固定的边界条件下的

单频驻波的频率的时候

它就是共振了

这时候的振幅

就相当的大

远远超过了波源的振幅

就波源的振幅

小于小于这个时候的振幅

那么这就属于共振情况

那么

这个时候

波源虽然在它的端点上

它不是严格的波节

但是因为它振幅很小

近似为波节

就是这种情况

那么有人问了

说这种情况下

难道它的振幅可以无穷大吗

当这趋于零的时候

振幅相当大对吧

它趋于零那振幅就无穷大

我们说

在它趋于零的时候

振幅不会无穷大

因为什么呢

在这种情况下

必须考虑阻尼

考虑阻尼了

才能严格计算

这种情况下的振幅

这样的话才是个严格解

现在我忽略了阻尼

这就不会得到它的严格解

我们刚刚进行了

受迫波动的讨论

下面给大家演示一下

受迫波动

这个就是波源

它上下振动

那么它引起了

这样的一维的驻波

我们知道

如果它策动力的频率

等于两端固定的弦的

简正模式的话

那么它的振幅将最大

如果策动力的频率

等于一端固定

一端自由的

简正模式的本征频率的话

它的振幅将会最小

我们下面来看一下

这个振幅就是很小

那么就是属于

我们是一端固定

一端自由的

简正模式的本征频率

我们下面改变一下它的长度

就是调整了

它的本征频率

大家看

振幅逐渐加大

振幅达到最大

就说明我现在的

策动力的频率

等于了两端固定弦的

简正模式的本征频率

同样我可以改变它的长度

也就是改变了它的模式频率

我们会得到不同的情况

这是变到最小

实验就做到这儿

刚才我们演示了一维驻波

下面给大家看一下

二维驻波

这是一个正方形的薄钢板

用琴弦拉动

就使它产生一个二维驻波

我们用石英砂来演示

二维驻波的波形

会看到有各种各样多彩的

二维驻波的波形

这是撒上石英砂

一种驻波的波形

它可以有其它波形

第二种驻波波形

第三种驻波波形

又一种驻波波形

又一种驻波波形

又是一种驻波波形

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