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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们就来计算

定轴转动中

刚体的动量角动量

动能的计算

其中要引入一个转动惯量

先看定轴转动中

刚体动量角动量动能

是如何计算的

这是刚体绕着z轴

做定轴转动

那么动量怎么计算呢

动量跟你是不是刚体

是不是怎么运动

都没有关系

我们以前曾经告诉大家

一个质点系

它的动量永远是

它的质心大质点的动量

就是整个的质量

乘以质心的速度

所以对刚体来说也不例外

所以质量为M的刚体动量

就是总质量乘以质心的速度

所以以前都知道了

现在关键是求对z轴的

角动量如何计算

那么我现在

在刚体上选择一个质元dm

它的坐标就是ξ矢量

它现在速度是v

于是

这个dm这个质元

它对z轴的角动量

就是ξ乘以dmv

它是动量

它乘以它就是角动量

那么v等于这个ωξ

于是变成了ωξ平方乘以dmω

我们刚才说

刚体它是整体运动

就是这个转动ω

是相同的

所以把ω可以提出来

于是就对这个来积分

这就是ξ平方dm的积分

再乘以角速度

就是我整个刚体对z轴角动量

我们把这一个积分

用一个I来表示

就可以写成Iω

那么其中I

它严格说应该是Iz

就是整个刚体

对z轴的转动惯量

就是这样一个ξ平方dm的积分

就是称为转动惯量

我有了转动惯量

就可以计算出对z轴的角动量来

大家看我现在绕着它来旋转

角速度矢量是这个方向

角动量也是这个方向

所以考虑到方向

就可以写成矢量形式

就是角动量适量

等于转动惯量乘以角速度

这就是我们的

对定轴z的角动量的计算

下面我们来计算一下动能

动能我这个质元它的动能

等于二分之dmv方

我v又可以写成ξ乘以ω

于是就变成了

这个二分之一提出来ξ

平方dm的积分乘以ω的平方

所以它可以写成

二分之一的转动惯量乘以ω平方

这样我们也可以计算出

一个定轴转动刚体的动能

这样的话我们看到

你计算定轴转动的角动量也好

还是计算定轴转动的动能也好

都离不开转动惯量的计算

所以我们现在来讨论

转动惯量

定轴转动刚体

对转动轴z轴的转动惯量

就是ξ平方dm的积分ξ

平方又可以写称s平方加y方

所以又可以是

x平方+y方dm的积分

这样我们看到

它作为积分来说

它具有一个求和的性质

所以整个的一个系统的

总的转动惯量

等于各部分转动惯量之和

所以它既然是积分

本身就有一个和的性质

我们又看到

它是ξ平方dm

所以同样一个质量

它距离轴越远

它对转动惯量的贡献越大

这就是它的一个重要的性质

我们现在来计算

简单的这个刚体的转动惯量

先计算一个大家看

一个质量均匀分布的圆盘

或者圆柱

或者一个圆的轮子

它对它的对称轴的转动惯量

它的总质量是m

半径是r

这就是我们要求它的转动惯量

它的高度是h

求它对z轴的转动惯量

我们要做积分

我们先看

我选什么做dm呢

因为对是ξ平方dm的积分

我们先看选哪个dm

大家来看

我以ξ为半径做一个圆周

那么然后

再把这半径增加一点dξ

再做一个圆周

这两个圆周之间

就是一个圆柱的壳

因为这个dξ很小

所以整个壳体上各点

到中心的距离都可以认为是ξ

所以把dm

把它看作这么一个圆柱壳

于是我这ξ平方dm

dm就是这个圆柱壳

圆柱壳的体积是2πξ

是它周长

再乘以高

再乘以它的厚度

就是2πξ乘以高再乘以它的厚度

就是这个圆柱壳的体积

再乘以质量密度就是dm

于是就可以积分了

积分是ξ从零到r的积分

结果是四分之2πρr的四次方

因为这个πr方乘以h

再乘以ρ就是它的总质量

所以最后可以写成

二分之mr方

这就是一个均匀分布的

一个圆盘圆柱和圆轮

它的转动惯量

这个结果大家应该记住

是我们要常用的

当然有人说

你这样精心挑选一个dm

太麻烦了

其实还可以直接来积分

dm等于多少呢

等于ρ乘dV

轴坐标系它的体积元dV

取什么呢

取ξdϕdξdz

取这样一个小体积

于是把这个代进去ξ

从零到ρr的积分

dϕ从零到2π的即

z从零到h积分

直接得到这个结果

所以你也可以不去精心挑选dm

就利用柱坐标系体积元

积分出来也可以

其他的大家看

如果一个圆环

那么对于这个对称轴的转动惯量

就是它的总质量乘以r方

这最简单

再看一个细长杆

细长杆杆长是l

质量是m

过它的中点

跟这个杆垂直的这个z轴

那么整个杆

绕着z轴的转动惯量

是多少呢

是12分之ml平方

这个结果大家也应该记住

然后是一个薄壁的球壳

均匀的球壳

过它的任意一个

直径都是对称轴

过对称轴的转动惯量

是三分之二mr方

这是一个均匀的球体

过它的直径

也是对称轴的转动惯量

是五分之二mr方

大家看

同样的质量

但是它的系数不一样

这个的分布就比较靠外

所以它的系数比较大

这个球体

它靠近中心的质量比较多

于是它的系数就比较小

复杂的不规则的质量

分布的刚体

那么这个转动惯量

一般就不用计算了

通过实验来测量

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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