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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们讨论

变质量体运动

火箭飞行原理

我们前面讨论的所有问题

它都要求质量是不变的

比如说牛顿定律

质量是不能改变的

质量是常数

运动定理

你的系统的总的质量也不能改变

所以都是一个非变质量问题

但是

我们常常还要讨论变质量体

就是在运动过程中

它的质量不断改变

比如说一个洒水车

洒水车的质量

随着水的洒出不断减小

对吧

比如火箭

随着火箭的喷发

对于火箭来说质量不断的减小

这叫变质量体

下面我们就讨论变质量体

动力学的基本方程

那么怎么讨论呢

我们首先选择简化情况

就是不讨论复杂情况

什么叫简化情况呢

就是我们把这个对象

看作质量连续变化的质点

首先体系的主体

就是你讨论的时候有个体系

一个主体

比如火箭

洒水车作为主体

主体它在做平动

这样的话

主体就可以看作一个质点

这是第一条

第二条

质量的变化

你质量的增加或者质量减小

都是连续进行的

它不是说我这个车正开着呢

你抱个大石头扔上去

这就不是我们讨论对象了

因为你质量的改变

是一个突然的一个巨大的

所以它应该是

质量变化是连续进行的

我们讨论这种情况

我们现在呢

用质点系的动量定理来讨论

那么现在是变质量体

我就提一个问题

变质量体

t时刻它的主体受力是F外

就是外力的矢量和是F外

F外等于不等于

当时的质量乘以它的加速度呢

如果等于这就是牛顿第二定律了

对不对

我们说它不会等于的

那么所以直接用这个式子是不行的

所以我们要用什么呢

要用质点系的动量定理来讨论

因为在用质点系动量讨论的原过程的时候

它的总的质量还是不变的

我们看

我的系统选谁呢

选在t时刻

这个质量为m的主体

比如火箭

以及在t+dt时刻里头

增加的质量dm

把它俩算在一起

所以在t到t+dt时刻内

整个系统的质量并没有改变

只是原来它跟它是各自飞行

各自运动

后来它结合到它上去了

这就是我们说的这个系统

所以系统的质量并没有改变

如果dm是并入到m里头去

dm大于零

还可以把dm从里面分离出去

dm小于零

所以dm可正可负

分别是并入和分离的两种情况

时间的范围是t到t+dt

这个情况

我们看这图

大家看

我选的是它俩作系统

在t时刻

这叫附着物

附着物接触到了主体

但是还是各自运动各自的

所以这时候叫开始接触

在这个时刻主体的速度是v

这个附着体速度是u

它们受的外力矢量和是F外

这就是这种情况

在t+dt时刻

这个附着体已经并入这个主体了

所以它跟它成为一体了

所以它们两个以共同的速度v(t+dt)运动

当然这时候的力还是这么大力

因为时间很短

我们可以近似认为不变

这个就是这个情况

这是受的指的是外力

所以讨论这个过程

我的系统的质量并没有变

对吧并没变

原来就是它

现在还是它

这是讨论这个过程

对于这个过程

我们应用质点系的动量定理

也就是F外乘以dt

就外力的元冲量

等于谁呢

等于这个质点系

末态的动量减去初态的动量

末态动量它俩结合在一起了

所以等于m+dm

速度是v(t+dt)时刻的速度

t+dt时的速度是这个v

减去初态的时候

它有一个速度有一个质量是v

于是就是mv

是主体的动量

再加上附着体的动量

把这个v(t+dt)

t+dt时刻的v

写成它的这个v(t)

加上它的微分形式

这是我们原来数学就知道

这个是末态等于初态加上它的微分

所以t+dt时刻的v

等于t时刻的v加上dv

所以把这个写成这个形式

这个形式的话

于是它是两项

它是两项

一乘就出来四项

就是mv+mdv+vdm+dmdv

这里面是谁呢

这里面是mv加上udm

大家一看就知道

这个约掉

这个一旦约掉

大家看这是一阶小

这是一阶小

这是二阶小

于是这可以忽略不计

就剩下三项合并成两项

一项是mdv

一项是减去(dm)(u-v)

u是合并之前附着体的速度

v是结合之前主体的速度

这样的话

我把dt除过来

把这项挪过去

于是就是这项除过来大家看

dv除以dt这就是a

所以就是ma等于谁呢

等于F外

把这项挪过去

加上(u-v)dm/dt

u-v是谁呢

是结合之前

附着体相对主体的速度

所以就是v′dm/dt

这个式子

就是我们所有要求的

变质量体的动力学方程

在我们那种简化情况下

得到的这个方程

称为密舍尔斯基方程

可以讨论一系列的这样的问题

v a是主体的参量

v′是合并前

附着体相对主体的速度

就是这个结果

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

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-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

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Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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