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Video课程教案、知识点、字幕

下面讨论外力矩作用下

陀螺的稳定的旋进

就是稳定的进动

这是我们讨论

陀螺定点运动的

一个主要的要求

就是讨论这一部分

整个定点运动要求不高

但是这部分是主要的要求

当自转的角动量比较大的时候

陀螺在重力矩作用下不倒

比如我陀螺高速转动

现在这个陀螺这轴不是竖直

斜着的

这样的话这点支撑在地面上

这样的话陀螺受一个重力矩

那么如果这陀螺不转

那么它应该倒下

对吧应该倒下

现在如果它高速自转

它并不倒下

它怎么样呢

绕着对称轴

一个匀角速度的进动

那么这种情况能不能实现

要看这种运动

满足不满足我们的运动定理

大家看就这种情况

这是陀螺

它支点在这儿

所以它是一个

固定的定点转动

它现在受一个的重力矩

于是有一个

在外力矩作用下

它对这点的外力矩

等于陀螺总角动量的变化率

那么重力对这点的矩

就等于rc叉上mg

因为你重力是有合力

等于rc叉mg

等于谁呢

等于总角动量的变化率

总角动量变化率

以前讲矢量的时候曾经说过

一个矢量变化率

总可以分解成一个

大小变化率

加一个方向变化率

大小变化率

就是L一点乘以它的原来的方向

这是单位矢量

方向变化率

就是它旋进的角速度叉上它

所以这一项是方向变化率

这一项是大小变化率

现在我们把这力矩

分解成这个方向的

和这个方向的

力矩什么方向呢

大家看

rc是这个方向

力是这个方向

一叉这个重力矩

是垂直纸面的向里的

而这个总角动量的

单位矢量是这个方向

所以力矩的方向跟它方向垂直

因此没有这个方向上的

力矩分量

所以我们来看

角动量方向上

力矩的分量是零

所以L一点是零

表示总的角动量

大小是不变的

我们再看这个方向

力矩这方向

那么Ω叉L什么方向呢Ω

这个方向叉L也是这个方向

所以这两个的方向

这个的方向

和力矩的方向是相同的

我们写成投影

力矩的这个大小

等于mgrc乘以sinθ

这是力矩大小

那么Ω叉L

等于Ω乘以L再乘以

它俩夹角的正旋

大家注意

这是总的角动量

这是陀螺的自转角动量

这个是它的夹角

你求力矩的时候

是这个夹角的正旋

你求这一项的叉积的时候

是这个角的正旋

所以两个角是不一样的

为什么这个

总角动量跟它不一样呢

就因为

我除了这个自转角动量之外

我这儿还有这么转

这么转的角速度

引起一个在这个方向的角动量

所以两个合起来

它应该是总角动量

应该是这个方向

所以它是这个结果

这样的话我们看到

这个稳定的进动是满足谁呢

角动量定理的

所以这个是可以实现的

你可以做一个陀螺实验

你发现

它确实有这样一个

稳定的进动

现在我们做个近似

因为这个高速旋转

所以这个总角动量

跟这个角动量大约相等

于是总角动量

约等于自旋角动量

等于自转轴的转动惯量

乘以自旋的角速度

然后因为它跟它接近相等

这俩角也接近相同

所以θ约等于θ′

于是把这个结果代进来

那么大Ω

大Ω就是

这个陀螺的进动角速度

应该等于是这个除以这个

现在θ约等于θ′

这一项约掉了

L约等于Ls

就变成了mgrc除以Ls

Ls可以写成Is乘以ωs

这就是自转的角速度

这是它稳定进动的角速度

这是大Ω

大家看到

我这个进动的角速度

跟谁有关系呢

跟你的自旋角速度有关系

自旋角速度越大

这个越小

反过来这个小

这就很大

所以这样的话

它有这样的关系

所以我们现在就知道了

如果自旋的角速度非常大的话

这个稳定的旋进的角速度

非常小

非常缓慢的在旋转

我们下面讨论力的问题

因为大家知道

我现在要想做稳定的进动

必须保证这个点不动

这个点不动

是由谁来确定的呢

是这儿有一个静摩擦力

有一个摩擦力

摩擦力使得这一点保持不动

所以摩擦力至关重要

我们现在就把摩擦力

和正压力计算一下

看看它跟什么有关系

现在不考虑摩擦力矩

只有静摩擦力在这儿存在

首先要看

你这个正压力多大

现在大家想

我一个陀螺

绕着这个在地面上

或者在一个平面上

绕着一个确定点转动

地面对它有一个

竖直向上的支持力N

这N等于多大呢

大家能不能确定呢

我们能确定

用什么呢

就用质心运动定理

质心运动定理

就把N的大小确定了

大家看

我沿着z方向

z方向这个质点系

受到的合外力

等于谁呢

等于z方向加速度乘以它的质量

那么z方向上的外力有谁呢

是重力和支持力

支持力是正的

重力是负的

就是负的mg加上N

等于谁呢

等于质量乘以质心

在z方向的加速度

它现在稳定进动

质心在一个水平面上运动

它没有纵向的

z方向的运动

于是这一项是零

加速度是零

所以这就是零

于是我计算出来了

我这点的支持力

恰好等于重力

这就是我们得到第一个结论

N求出来了

下面要想求f为

就要看哪个方向呢

来用这个方向

径向的方向

用ξ的方向来讨论ξ

方向来讨论

这个摩擦力是负的

这个质心做一个圆周运动

以ξc做圆周运动

于是它的加速度

是向心加速度也是负的

负的mΩ平方ξc

于是我们就得到了这个结果

就是mΩ平方rc sinθ

就是ξc等于rc乘以sinθ

所以mΩ平方rc sinθ

就等于静摩擦力f

静摩擦力f

要小于等于它的最大值

最大值

就是支持力乘以摩擦系数

所以小于等于它

因此

我能够稳定的进动的条件

就是我的进动的角速度

要小于等于这个结果

我们刚才说了进动角速度

取决于自转的角速度

所以要求自转角速度

要比这个大

如果你自转角速度小了

那么它就要怎么样呢

就要摩擦力不足以保持它稳定

就趴下了

那么这里头要想这个比它大

要求这里边这个θ角不能太大

同时自转角速度要求大

所以这个不要太大

这个要很大

满足这个条件

就可以使它稳定的进动

这是一个有对称轴的刚体

一会儿我把它加速

当它高速旋转之后

就成为陀螺

那么我们来看

这个装置是个陀螺仪

就是这个装置的特点

就使得这个轴转动起来

不受外力矩

这样的话

在不受外力矩的情况下

这陀螺仪的角动量

应该守恒

角动量守恒

那么它的陀螺仪的轴

就应该保持方向不变

我们一会儿看一下

它是不是能够方向保持不变

下面我就给它加速

使它成为陀螺

大家看这是陀螺仪

陀螺仪保证陀螺的轴

不受外力矩

于是我不论怎么旋转

这个陀螺仪的陀螺轴

应该是保持方向不变

大家看

我无论怎么旋转

这个陀螺仪的轴

是保持方向不变的

这就是陀螺仪的原理

也就是说

我们陀螺在不受外力矩情况下

它角动量守恒

角动量守恒

体现在一个是大小不变

一个方向不变

方向不变

就是陀螺轴的方向保持不变

这个实验就是关于

陀螺仪的实验

我们下面看

有关陀螺的另一个实验

现在呢它是一个有对称轴的刚体

那么它如果高速转动起来就是陀螺了

现在它没有转动

我们看

如果你把它斜着放在这上面

它将由于重力矩而倒下

如果

我把它高速转动起来成为陀螺

再斜着放的话

它会什么样的表现呢

我们来看一下

这就是稳定进动

我们前边所讲的稳定进动

陀螺受到了重力矩

在重力矩作用下

它绕着竖直轴稳定进动

我们来分析一下进动方向

它受到的重力矩

是通过它的质心

作用的重力

那么它重力矩的方向是这个方向

于是我们进动的方向

就是沿着它的重力矩方向来进动

我们现在把陀螺

用一根绳子挂起来

看看它是不可以稳定进动

把陀螺的轴的一端

用绳子拉起来

使陀螺的轴水平

它仍然是一个稳定的进动

进动的方向

仍然是力矩方向

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

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-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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-§8驻波

-习题

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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