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第八节驻波

我们似乎已经讨论了

关于波的所有问题

但是还有一些重要的问题

我们还没有涉及

比如说

为什么各种乐器

它的音调不一样

音质不一样

为什么我拉小提琴

想调它的音调的时候

去调它的弦的松紧等等

为什么我在一个乐器里面

出现的波是分立的

这些问题

都要通过驻波的问题来解决

而且呢

我们以前讨论的平面波

平面简谐波

都是无头无尾的

无限的分布的

在无限的空间里

分布的这样一个平面简谐波

可是实际上

我们都是在有限的空间里

来进行波动的

所以

在有限的空间里

波动的波

它不再是我们前边讨论的行波

而是驻波

下面我们要讨论

非常重要的一个问题

就是关于驻波的问题

那么单频驻波

起着在行波里面简谐波的作用

所以单频驻波是最重要的

第一单频驻波

我们先看一看驻波的形成

是一种特殊的干涉现象

就可以产生驻波

驻波可以由同频同幅

同振动方向

但是传播方向相反的

两列简谐波叠加起来

就形成了驻波

我们看

第一个行波

是A′cos（ωt-kz+ф1）

它是向着正z方向传播的一个

平面简谐波

那么

第二个波

跟它的振幅相同

跟它的频率相同

但是传播方向相反

这两个波叠加起来

就是一个驻波

我们看

驻波是什么样

这两个波合起来

我们用一下和差化积的公式

就可以写出来

它等于Acos（kz+θ）

乘以cos（ωt+ф）

这样的形式

这样的话

跟我们前边见的波

就截然不同

这个时间项跟空间项

分别在两个三角函数里面

不再像前边那样的

时间项空间项

在一个三角函数里面

这就是它最大的不同

其中A等于2A′

θ等于前边ф2-ф1的一半

那么ф等于ф1+ф2的一半

这就是我们看到的单频驻波

下面呢

我们看一看它的特点

首先这个单频驻波

满足波动方程

可以直接把这个解

代到波动方程里面去

它是满足方程的

实际上我们不必去验证它

因为什么呢

我们知道

这两个波都满足波动方程

那么它的和

也应该满足波动方程

所以从这点

由叠加原理就知道

它一定满足波动方程

第二个

这种驻波它的波形不传播

我们以前一说平面简谐波

它的波形传播

位相传播

驻波它的波形是不传播的

它驻在那儿了

大家看一下

它的不同时刻的驻波波形图

为了简单起见

我们取θ等于ф等于0

于是这个驻波

就是Acoskz cosωt

那么我们看一下

这是不同时刻的波形

这是t等于0时刻的波形

这是t等于T/8时候的波形

t等于T/8的时候

ωt等于π/4

所以这个项是二分之根号2

所以整个它的振幅都

减小了根号2倍

这就是这个t等于T/8

当t等于T/4的时候

ωt等于π/2

这一项是零

所以大家看

t等于T/4的时候

这波形是一条直线

于是时间继续延长

t等于3T/8的时候

这是它的波形图

t等于T/2的时候

是这个波形图

所以大家看

它的波形并没有传播

而是在原地的变化

那么

这个地方大家看

它的振幅始终是零

我们管它叫什么呢

叫波节

这个地方

就是在最高点的地方

它的振幅是A

我们称作波腹

所以

一个驻波

它各地方都有它特定的振幅

其中有振幅为零的是波节

振幅最大的是波腹

所以各点都做谐振动

振幅是z的函数

而它的振动

又彼此关联

相邻波节跟波腹的距离

是四分之波长

我们看我们一般画驻波

就画成这种形式

这就是驻波

大家看对称的这么一画

就是驻波

这个地方振幅始终是零

是波节

这个地方振幅最大

是波腹

从这儿到这儿是一个波长

那么波节到波腹的距离

是波长的四分之一

所以这个要注意

它一个重要的参量

波节到波腹的距离是λ/4

z和t不在同一个三角函数里面

因此不构成一个

（z±vt）的形式

也就是说它不是行波

而是一个

波形位相都不传播的

一个驻波

那么位相为什么不传播呢

大家看

我在这两个波节之间

在这一时刻

它们都达到了最大振幅

于是它们的位相都相同

因为它同时达到了最大振幅

所以它位相都相同

而在一个波节的两侧

这边跟这边

这边达到了最大振幅

这个达到了最小振幅

这是峰

这是谷

所以两边位相差是π

两边是反向的

因此我在这个区域里边

位相都相同

这两边的位相是反向

所以它位相并不传播

在这个波动过程中

它上下运动

始终它的位相相同

所以位相并不传播

所以位相也不传播

这个波形也不传播

所以它是驻波

其次

我们看到

它能量也不传播

我们知道行波的时候

是一个平面简谐波的情况下

它的势能密度等于动能密度

但是对驻波来说

势能密度不等于动能密度

波节的地方

它的速度始终是零

振动速度始终是零

所以在波节地方

它的动能密度始终是零

而在波腹的地方

它的应变始终是零

因为它的切线始终是零

所以在波腹的地方

它的势能密度始终是零

我们现在取这么一个驻波

就是把它写的最简单形式

θ跟ф都取作零

于是我们看到

它的动能密度

应该等于二分之一ρ

然后是偏ξ偏t的平方

这就是它振动速度的平方

把这个对t求导

然后代进去

就得这结果

然后我们用一个倍角公式

coskz的平方写成（1+cos2kz）

sinωt的平方写成（1-cos2ωt）

于是它的动能密度

是这样一个

时间和地点的函数

类似

我们可以求出势能密度来

势能密度

我们等于二分之ρv方

偏ξ偏z的平方

把这个对这z求偏导数代进来

得到这个结果

然后用倍角公式

得这个结果

所以ep不等于ek

它俩是不等的

它两个是相互转化的

那么机械能

就等于这两个之和

等于这个结果

于是我们看到

机械能大家看

也有这一项

cos2kz乘以cos2ωt

大家一看就知道

这也是驻波

所以机械能密度本身

也是个驻波

所以机械能也不传播

它的平均值

等于ρω平方A方/4

这是机械能

所以机械能也不传播

那么

机械能在波节跟波腹之间振荡

我们来看一下

这个是我现在把

驻波写成这个形式

它的机械能这个形式

我们把前边的结果

给它抄到这里边来

下面做一下讨论

大家看t等于零的时候

那么这个函数

它的波形是这样的

这是它的波形

这是它位移的波形

那么在这个t等于零的时候

它的位移最大

各处都到了最大的位移

于是

到了最大位移

所以它各点的速度都是零

它振动速度都是零

于是它的动能密度是零

因此在t等于零的时候

它的机械能就是它的势能

那么

势能最大的地方在哪儿呢

势能最大的地方不在波腹上

而在波节上

因为势能是跟应变有关系

在这地方应变是零

在这地方应变最大

所以

整个的机械能

大家看这条曲线

是机械能密度曲线

在波腹的地方是零

在波节地方最大

波腹是零

波节最大

所以它是这样一个分布

这就是t等于零的时候

所以t等于零的时候

它的机械能

集中在波节上

而波腹的地方是零

我们再看

t等于T/8的时候

1/8周期的时候

那么这个时候

它把1/8周期代到这里面来

大家看

1/8周期乘ωt

乘以1/8周期的话

这时候是π/4

π/4再乘个2

是π/2

所以这一项是零

所以在这个情况下

它的机械能密度

是一条水平线

就等于它的平均的机械能密度

处处相等

那么

在这种情况下

它的能量怎么样呢

由这个t等于零的时候

过渡到这个情况

它的机械能

从这儿向波腹来转移

现在转移

就完全相等了

波节波腹处处都相等

我们再看下一个时刻

下一个时刻t等于T/4

于是整个的波动

都回到了原点

就是位移是零

位移是零

所以处处的应变都是零

因此这时候

没有势能密度

这时候只有动能密度

机械能密度

就等于动能密度

那么动能最大的地方在哪儿呢

在波腹

波腹的地方速度最大

所以波腹的地方

机械能最大

所以现在机械能集中在波腹上

波节地方速度是零

它的机械能是零

所以现在

机械能都集中在波腹上

所以我们回头看一下

t等于零的时候

机械能集中在波节上

然后向波腹转移

到了1/8周期的时候

机械能相同

然后到了T/4的时候

机械能都集中在波腹上

这样的话机械能

就在波节波腹之间振荡

但是总量保持不变

所以这个机械能是守恒的

能量不能通过波节波腹传播

所以到这儿就卡住了

它只能在这个之间来回转化

为什么在这儿卡住呢

我们看一下

波节的地方

就这个地方

波节的地方

力不等于零

它有内应力

但是怎么样呢

它速度始终是零

于是它能量传播不出去

它不是零

但是它是零

所以它的功率始终是零

所以通过波节的地方

不能传出功率去

那么再看波腹

波腹的地方虽然

它的速度不是零

但是它的应力是零

所以它也不能传出功率去

所以在这个地方卡死了

没有能量的传递

在这地方也卡死了

没有能量传递

于是只能在这个之间

能量来回振荡

它的动能跟势能相互转化

于是它来回振荡

这就是驻波

它的能量变化的特点

做简谐振动的质点

它机械能守恒

动能和势能互相转换

来维持运动

简谐行波

它的动能密度等于势能密度

它动能和势能不能转化

但是它可以传送

我通过这边传进能量来

我通过那边传过去

所以行波是传输能量

而这个驻波

它是不传输能量的

它是动能密度跟势能密度

来回转化

我们看一个例子

在质量密度ρ的介质中

单频驻波

是这样一个驻波

求驻波单位横截面积

从波节到波腹的机械能是多少

就是这样一个单频驻波

它的质量密度ρ是已知的

现在要求从波节到波腹

单位横截面积内的

它的驻波的机械能是多少

要求这个

我们来看

我们把这一项写做ψz

把这一项写作ψt

它是关于t的一个位相

关于z的一个位相

于是单频驻波

就可以写成这个形式

我们的机械能密度

等于动能密度加势能密度

我们用前边公式写出来

是这个结果

那么我现在要求

从波节到波腹之间的机械能

我就要进行积分了

就是在某一时刻

我取机械能密度

然后从波节到波腹

对它进行积分

怎么积分呢

密度乘以dV

就是dV内的机械能

然后从波节到波腹

在单位横截面积上

进行积分

那么

这个dV可以写成dz

因为你取的是单位横截面积

它的dV应该是等于

横截面积乘以dz

现在横截面积是1

所以它就等于1乘dz

积分从哪儿积到哪儿呢

从波节积到波腹

我从这儿可以知道

我的位相差

取决于什么呢

取决于dz 对吧

位相差取决于dz

所以dψz

就是关于空间的位相差

等于谁呢

等于是k乘以dz

所以dz等于dψz除以k

于是把这个dz换成它

就变成了edψz除以k

你把它换了以后

波节到波腹

ψz就是这个

是从π/2积到了π

π/2的时候这一项是零

π的时候是到了波腹

所以从π/2到π

它的机械能密度

对它来做积分

然后把这个代进去做积分

积分以后

得这个结果

因为只对它积分

所以这项不变

所以得到这个结果

这是积分完了之后

然后ψz从π/2到π

两个的差

就是这个的积分值

这个π/2代进去

这一项是零

π代进去这项也是零

所以这项就没有了

于是就是这个

是π减去π/2

再乘以2就是π

代进去这个结果

其中把k写成2π除以λ

就变成这个结果

所以最后就得到这个结果

我们就规规矩矩的

用这个积分

来得到这个结果

可是

如果考虑我们前边

驻波的特点的话

我们会发现

我们不必做这样复杂的积分

我们可以有简单的方法

因为什么呢

因为波节到波腹机械能守恒

你随便什么时候去求

都应该是相同的

那么我找什么时候来求呢

我在取ψt等于π/4

取ψt等于π/4的时候

那么机械能

我们刚才看到了

t等于T/4周期的时候

机械能是个常数

与位置无关

那么这样的话

就不需要积分了

在这一时刻代进去

它是常数不需要积分了

我的机械能直接

就是用这个常数

去乘波节到波腹之间的距离

就得到了

于是直接得到这个结果

所以用这个考虑

不需要积分

就可以得到结果

我们再回头看一下驻波

其中各点的振动相互关联

称为波

能量位相波形不传播

称为驻

所以它为什么叫驻波呢

它既有波的特点

它又很多东西不传播

所以我们称呼它为驻波

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绪论

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-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

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-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

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-§3 牛顿力学应用

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-§3机械能定理.机械能守恒

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-§1.基本原理

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-§2史瓦西场中时间与空间(下)

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