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Video课程教案、知识点、字幕

偏导数

我们刚才讲的是一元函数

y=f(x)

实际上

我们很多情况下

有多元函数

我们先讨论二元函数的偏导数

对于二元函数

z=f(x,y)

它有两个自变量x,y

那么

我如何对一个多元函数

来定义它的导数呢

我们仍然要延用

一元函数的导数

的一些概念和方法

大家想

我们一元函数的导数

就是它的变化率对吧

它只有一个自变量

现在有多个自变量

我如何沿用我

一元函数导数的性质和方法呢

我们就有一个办法

我们让另一个变量取作常数

比如说我二元函数

我把x作为变量

y取作常数

不让它改变

于是就可以对x求导数了

这个导数

我们称之为偏导数

就是z对x的偏导数

就是当把x y第二个变量

取作常数的时候

我对x的导数就是偏导数

写作∂z/∂x

或者是∂f/∂x

或者是Zx'

或者f'x

或者我再简单的把这个形式

写作∂xZ

就是∂xZ

是这个写法的简化形式

这就是对x的偏导数

类似呢

我也可以定义对y的偏导数

那么我们来看它的定义如何

∂z/∂x

就是我z对x的偏导数

刚才说了

就要使得y在这个求导过程中

保持为常数

大家看

我要是想求对x的导数

我要是使得函数有个增量

这个增量大家看

是x发生变化

y不发生变化

所以这个增量

完全是因为由x变化引起的

所以在这个求导过程中

就相当于把y看作常数了

所以它是一个偏导数

所以呢

我∂z/∂x

也是z的增量除以x的增量

这是个平均变化率求极值

但是这里加个角标x

表示这个z的增量

完全是由于x变化引起的

其它不发生变化

所以又可以写成dxZ/dx

类似呢

我们可以定义对y的偏导数

对y的偏导数

就是把x看作常数

在求导过程中x不改变

然后对y求导

因此它的函数的增量

是x不变

y从y变到y+Δy

来求它的平均变化率

然后取极值

就变成了偏导数

这就是二元函数

z=f(x) 它的对x的偏导数

和对y的偏导数

我们注意到

对x的偏导数

跟对y的偏导数

本身也是二元函数

所以呢

这是一阶偏导数

如果它有高阶偏导数的话

那么高阶偏导数就不止一个了

下面我们看一下二阶偏导数

二阶偏导数

就是一阶偏导数的偏导数

一阶偏导数呢

对于x偏导数它是二元的

对于y偏导数也是二元的

于是呢它的偏导数

就应该有四个

我们来看它对于这是

z对x的一阶偏导数

然后它再对x取偏导数

就变成了二阶的偏方z

偏x²

我们写作∂xx

就是对x的两次求偏导

那么对于∂z/∂x

还可以对y求偏导数

于是呢就是∂²z/∂x∂y

注意呢

这是有顺序的

写在前边的这个

就是先求导

你看∂x∂y

就是先对x求偏导数

然后再对y求偏导数

这有顺序的

简写成∂xyZ

类似

∂z/∂y也有两个偏导数

∂z/∂y先对x求偏导

就是∂²z/∂y∂x

写作∂yxZ

然后∂z/∂y

还可以对y求偏导数

就是∂²z/∂y²

就是∂z/∂y然后再对∂y

写作∂yyZ

这就是二阶偏导数

下面我们看一个例子

f(x,y)=5x²y³

先求呢一阶偏导数

它对x的偏导数

就是把y看作常数

于是求对x的偏导数的时候

看作常数

这俩都是常数

不求导数

只对它求导

对它求导二五一十

10xy³

这个函数对y求偏导数

就把x看作常数

于是只对y求导数

那么三五一十五

等于15x²y²

那么这是一阶函数的偏导数

我们想求一阶函数偏导数

在x=0 y=1处的

偏导数的数值

就把x=0 y=1

代到这个偏导数里边去

大家一看就看出来了

这应该等于0

类似我们求对y的偏导数

在-1和-2点的函数偏导数的数值

那么x=-1带进去

x²等于1

y=-2带进去 y²等于+4

于是它的偏导数值是60

这是第一个例子

我们再看另一个例子

z=x³+x²y²+y^4

对于x的偏导数

那么就是3x²

然后y看作常数

2xy² y是常数

所以它对x求导是0

就是这两项

那么z对y求导

把x看作常数

于是这里边对y求导

就是2x²y

y的四次方的导数

就是4y³

这是它的一阶偏导数

我们再来看它的二阶偏导数

∂z/∂x对x再求导

把y看作常数

这是二三得六 6x

这个看作常数

就变成了2y²

这就是z对x的二阶偏导数

再看∂²z/∂x∂y

就这个再对y求导

y求导是把x看作常数

这一项是零

对y来求导二二得四

等于4xy

这就是二阶偏导数

再看∂z/∂y

还有两个二阶偏导数

这个先对x求导

那么

这里对x求导的时候y是常数

变成了4xy

y是常数

所以这项求导就是零

大家一看就发现

∂²z/∂y∂x

∂²z/∂x∂y

两个是相等的

也就是说同样

是z对xy的偏导数

它们这两个是先对y求导呢

还是先对x求导呢

结果是一样

这是它的特点

我们再看

∂z/∂y再对y求导

于是就等于2x²+12y²

那么这两个相等是不是偶然的呢

不是偶然的

我们有个定理

如果二阶函数

这个偏导数

在这个区域内连续的话

那么它的结果

它的这个二阶导数的结果

就跟它的求导次序无关

所以这个不是偶然的

这是一个很常见的性质

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

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-§4.刚体 (下)

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Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

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-§3理想流体动力学(下)

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-§5流体阻力(上)

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-Ch7. 振动和波--习题

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-§3简谐振动合成(上)

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-§3简谐振动合成(下)

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-习题

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

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-§3 相对论动力学基础

-习题

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

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Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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