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第二

初始条件和确定解

我们刚才得的结果

x=Acos(ωt+ф)

是包含了所有满足条件的

在弹簧振子上

实现的振动

可是你真正的

做的振动是确定的

那么它确定的来源是什么呢

你给它一个确定的初始条件

于是它的解或者它的振动

就是一个确定的振动

而不是我们的所有振动

如何得到确定振动呢

就是刚才所说

要给它初始条件

所以在给定初始条件下

弹簧振子是一个确定的振动

确定性体现在哪儿呢

就是它的振幅A

和它初位相ф是确定的

因此我们的任务就由

初始条件

来确定这两个待定常数

初始条件

就是t=0的时候

它的位置是x0

它的速度是v0

由初始条件来推导A跟ф

我们看一个例子

我们就不用直接推导公式

我们直接可以计算

就可以出来了

弹簧的这个系数k

等于15.8 N/m

m等于0.1kg

第一种初始条件

在平衡位置

向-x击打滑块

使得滑块的初始速度

是0.628每秒米

就在平衡位置

原来它是静止那不动的

我一敲就有一个初始速度

这是第一种初始条件

第二种初始条件

把这个滑块

拉到x等于0.08米处松手

那么求它的这个频率

这个频率是线频率

就是ν和它的振动函数x(t)

首先我们求出它的圆频率

等于(k/m)^(1/2)

这是跟初始条件无关的

这是整个系统的常数

等于4π

就是我给的数值

正好是它等于4π

于是它的频率

等于ω/2π

等于2赫兹

我的假设我的这个x

就是位移函数

或者振动函数

是Acos(ωt+ф)

先要确定A跟ф

ω都知道了

初始条件x0=0

因为你是在平衡位置打它的

所以它初始条件x0=0

它的初始速度多少呢

初始速度可不是每秒0.628米

因为它是向-x方向打的

所以它是-0.628

等于-0.2π

单位我没写

但是大家知道

就是它的速度

于是

由这个初始条件

就是在这个里边取t=0

于是就等于Acosф

Acosф=x0

这是由第一个初始条件

得的方程

那么这样的话

它等于零

ф只有两个选择

在-π到π之间

只有两个选择

一个是π/2

一个是-π/2

然后再看第二个条件v0

v0是这个速度

就是它的v应该是等于

是-ωAsin(ωt+ф)

然后ωt取作零

于是就是-0.2π

等于-ωAsinф

于是我们看到

这样的话

就是ωasinф等于正数

因此说明ф

一定是正的

所以由这个式子

就可以确定ф

是正的π/2

把正的π/2代进去这是1

于是就把A求出来了

A就等于0.2π/ω

等于0.05米

于是这个振动

就是完全确定的振动

振幅也有了

初位相也有了

这是个完全的唯一的振动

这是第一种情况

我们再看第二种情况

初始条件它的位移是0.08

应该是米

它的初速度是0

因为你是拉它松手

它的初速度是零

于是由第二个条件

初速度是零

就是-ωAsinф

应该等于零

那么ф就应该等于零

于是x0等于0.08

就等于Acosф

把0代进去就是等于A

所以A就等于0.08米

于是我们这个

振动函数就有了

就是0.08cos4πt

这就是由初始条件

给出了以后

就得到了确定的

振动形式

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