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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们讨论

静止流体的平衡方程

就是流体内压强分布

跟体积外力的关系

第一

流体内压强与体积外力的关系

讨论的时候我取一小段

柱状的流体来讨论

把它当做对象

来研究它的运动规律

现在这个上边

受到一个体积外力

什么是体积力呢

就是在每一个小体积上

都作用的力

叫体积力

刚才我们说的面积力

是作用在面积上的

这是作用在每一个小的

微元上的就叫体积力

这个体积力我用f来表示

这叫什么呢

大家注意是单位质量上的

体积外力

用f来表示

它受到这样一个体积外力

它的两个截面的面积都是Δs

这儿的压强是Px

这里压强是Px+Δx

这个长度是Δx

我们来讨论

它所受的这个合力

跟它的运动的关系

首先因为你是静止流体

所以它不运动

因此它应该受力平衡

那么x方向上

我们看它受的多大的力呢

因为它不运动

所以没有摩擦力

那么只有这方向的压力

和这方向压力

还有体积外力

所以在x方向上

这个力是正的

这是压强乘以面积

这个是正的

这个方向上

这个面积上受的力是负的

是压强乘以面积

然后这个是体积力

体积力它是单位质量的

那么

先看一下这个质量是多少

这个质量呢

是等于它的体积ΔS乘以Δx

这是它的体积

乘以密度

这个就是它的质量

质量乘以单位质量的力

就是这个总的体积力

所以这个是这个情况

然后把ΔS约掉

我们看

这个P（x）减P（x+Δx）

移到这边来

它先把Δx约掉

然后把它移过来

就变成P（x+Δx）减去Px

那么P（x+Δx）减去Px

再除以Δx

当你这个Δx趋于零的时候

就变成了P对x的导数

于是ρ乘以fx

就等于P对x的偏导数

这就是我们

通过x方向的受力平衡

得到的结果

类似我们可以得到y方向

就是ρ乘以fy等于偏P偏yρ

乘以fz等于偏P偏z

得到这样的关系

这就是我们要找到的

流体内压强

和体积外力的关系

我们可以简写成什么呢

简写成P的梯度

等于ρ乘以f

把刚才那三个关系式

写成一个矢量的形式

就是P的梯度等于ρ乘以f

这就是静止流体的平衡方程

也就是它的体积力

和压强之间分布的关系

我们看一个例子

一个密闭的水平试管

里面充满了密度为ρ的流体

然后这整个试管绕着这端点

以ω匀速转动

求试管内压强

沿着试管轴线的分布规律

这是P跟r的函数关系

解的时候

我们要选参考系了

选谁做参考系呢

选试管为参考系

因为在试管参考系里面

试管流体它是静止的

它才满足我们刚才的关系

必须静止流体才有这个关系

你选试管为参考系

试管里的流体是静止不动的

所以它满足我们的关系

那么它受到的体积外力是谁呢

就是惯性离心力

就是体积力

那么每一个小微元

都受到了惯性离心力

那么这个体积力

单位质量的

体积力等于谁呢

等于Δm所受的惯性离心力

再除以ΔmΔ

m约掉了

所以就等于ω平方矢量r

所以单位质量体积力

就等于ω平方r

这就是惯性离心力作为体积力

它的结果

于是应用刚才的公式

我现在是沿着r的方向

就是dPdr就等于ρ

乘以体积力在r方向的分量

就是ρω平方r

于是把它分离变量

然后再积分

假设

流体的体密度是常数的话

再假设r等于零处

它的压强是P0的话

一积分就得到了

r处的压强等于P0

加上ρω平方r方除以2

这就是我们讨论的压强

它的分布规律

我们再看流体中

压强跟密度的关系

我们说一般情况下

流体压强增加

它的体积会减小

于是它的密度会增加

气体非常明显

它很容易压缩

液体的话它很难压缩ρ

改变很小

但是我们都是说

它都是跟压强和ρ

都有一定的连带关系

实际气体

可以近似为理想气体

压强和密度的关系

就这样一个关系

压强等于密度乘以RT

除以m底下一个脚标mol

然后或者写成ρkT除以μ

那么这里边是什么关系呢

T是绝对温标

单位用k来表示

然后这个R

等于8.13焦耳每mol每K

称为气体普适常数

这个m是气体的摩尔质量

就是一摩尔气体的质量

那么这k是玻耳兹曼常数μ

是气体的质量

气体分子的质量

就是可以写成这个形式

这样的话压强跟密度

就有连带关系了

它的连带关系体现在

理想气体的状态方程上

这是气体

我们用理想气体来简化的时候

它的压强跟它的密度

有这样一个关系

再看液体

液体有经验公式

这是20摄氏度的时候

液体的一种经验公式

就是压强除以P0

等于多少呢

等于B+1

括号ρ除以ρ0的n次方减B

这里边对水来说

B是等于3000

n是等于7

P0是一个大气压

然后ρ0是998.23公斤每立方米

这就是一个经验公式

就是你不同压强的时候

就跟不同的密度

有这样的一个经验公式

这只是经验公式之一

而且对水来说

参量是这样的一个参量

下面看一个例子

这是一个气体的例子

又是一个试管

但是这边是开着口的

在大气中开口

然后它也是旋转

以ω角速度旋转

这是一个把空气

看作质量为μ的

理想气体

这个μ就是分子质量是μ

然后它以这样旋转

求试管里边的气体压强沿着

轴线的分布规律

这是讨论的气体

刚才讨论液体的时候

我们是近似它的密度是不变的

对吧

这里边它的密度要改变了

选试管做参考系

跟刚才一样

我们选试管做参考系

于是呢

试管里边气体就是静止的

那么惯性离心力是体积力

刚才也求出来了

体积力等于ω平方r矢量

沿着r方向

就是dPdr等于ρω平方r

把这个ρ代进去

就刚才的理想气体公式代进去

等于Pμω平方r除以kT

这就是理想气体

把它的密度

用压强的关系代进来

于是我们分离变量积分

最后就得到P等于P0

e的μω平方r方除以2kT

这样一个关系式

P0就是r等于零处的气压

因为它在这儿开口

所以这个地方的压强

就是大气压

所以这P0

也可以当做大气压

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

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Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

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-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

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-§4.刚体 (下)

-习题

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Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

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-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

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-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

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Ch7. 振动和波

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-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

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-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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-§8驻波

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

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-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

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-§3 相对论动力学基础

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

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Ch9.广义相对论

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