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Video课程教案、知识点、字幕

第二

哈根泊肃叶公式

这是个非常重要的公式

我们来看

我们怎么去推导它

这是一个不可压缩的

牛顿流体

在什么呢

一个水平圆管里边

内半径为R的水平圆管里

做定常流动

已知流体的黏度η

忽略体积力

讨论它的流动规律

就是看它的

流速是怎样分布的

我们采取柱坐标系

那么就是r ф z

r是径向的ф

是这样的转角

z是沿着这个方向

由对称性我们知道

这流体是z方向流动

由对称性呢

这个流动的速度

它跟这个ф无关

跟z无关

它只是r的函数

这是我们通过对称性得到的

它是这样一个函数

那么我们现在取一部分

作为我们的研究对象

这里要说明一下

因为流线是平行的

所以还是我们原来讨论的

流线平行的时候

那么垂直于流线方向的

法向的压强差

是相当于静流体情况下的压强差

现在忽略体积力

就是忽略重力

于是在法线方向上

压强处处相等

也就是说

在同一个横截面上

压强是处处相等的

这是我们要先加以说明

然后我们选择的是什么样的对象呢

是一个半径为r

长度为l的一个

圆柱形的流体

把这个流体

选作我的研究对象

那么对这个流体

我们看呢

因为它是定常流动

所以它的动量是不变的

动量不变

这个流体所受的

外力矢量和就是零

我们现在讨论这个z方向

z方向外力

一个是两个端面的压力

一个就是侧面上的粘滞力

这个力要加起来要是零

于是我们就列出方程来

那么这个面的压力是正的

这个面的压力是负的

那么这个面上的粘滞力

应该是服从牛顿定律

牛顿的粘滞定律告诉我们

它跟这儿的速度梯度

成正比

跟这个面积成正比

于是我们就写出这个方程来

压强差引起的压力差

两个端面压力差

加上这个粘滞力

侧面上粘滞力

就是外力之和

应该等于零

那么我们看

粘滞力是这个方向

负z方向

而这个dvz除以dr是小于零的

就是它的流速越往外越小

到了那个气壁的那地方

应该是零

所以这是小于零的

因此我这儿取个加号

才能够使得粘滞力

是负z方向

所以这里为什么要取加号

那么

这样的话

我就可以分离变量积分

从哪儿积起呢

我这儿不是从零积到r

大家注意中心这点是零

这是r

我不是从中心积到r

为什么呢

就因为

我中心处的流速是不知道的

哪个地方的流速知道呢

在气壁上流体的流速是零

所以r处的流速是已知的

所以从大R积到小r

它的流速就从零积到vz

于是这个积分出来之后

就得到了流速的分布

刚才说流速是r的函数

它就是这样一个r的函数

是跟r方有关系的

所以

流速是一个旋转抛物面

它跟r方有关系

那么最大流速

就在它的轴心上

轴心上的流速最大

是这个结果

那么有了这个结果

流速的分布

我就可以计算谁呢

计算它的体积流量

体积流量应该等于

v乘dS

然后积分

dS取作2πrdr

就取作一个圆环

圆环面积来积分

那么这样积分最后结果

就是这个结果

这个结果就是著名的

哈根泊肃叶公式

就是一个水平圆管

它定常流动的时候

它的体积流量和压强半径

以及黏度的关系

这就是

著名的哈根泊肃叶公式

这个l就是

1点到2点之间的距离

所以P1减P2除以l

相当于单位长度的压强差

所以这个体积流量

就跟这个单位长度压强差

成正比

跟半径的4次方成正比

所以半径越大

它这个体积流量增长的特别快

这就是著名的哈根泊肃叶公式

不可压缩的粘滞性的流体

它在水平流管里面

它的体积流量

哈根是1839年

通过实验证实

泊肃叶是1842年

独立的推导

我有了这个体积流量

就可以定义平均流速

平均流速就等于

体积流量除以横截面积

代进来结果就是这个结果

那么这个公式应用非常广泛

特别是在水利工程上

那么可以讨论

各种各样的流体

它的流量跟压强差

和横截面积等等的关系

比如说

在我们国家引长江水过黄河

设计流量是这么多

那么我设计流量这么大

我这个渡槽

应该多大的横截面尺寸

我这第二种是隧道

就是开始的隧洞

隧洞的直径应该多大

就要通过哈根泊肃叶公式来计算

知道流量

我又知道了什么呢

知道了这个渡槽

或者是隧洞的斜度

就是高度差

高度差确定了它的压强差

知道压强差知道流量

就可以确定它的横截面积

所以这都是通过

哈根泊肃叶公式计算的

我们刚才讨论的

是从它的粘滞力的角度来讨论

我们现在又回到我们本章开头

应力应变

于是我们发现这个摩擦力

粘滞力

实际上

就是流体里边的剪应力

大家看

这是我们刚才说那个实验

我上边一个板子流动

带动它整个的形成层流

在这个面上

出现了摩擦力

摩擦力就在这面里边

所以这摩擦力

就是这个面上的剪应力

于是剪应力

就等于力的大小除以它的面积

那么就等于η乘以dv除以dz

这就是它的空间变化率

我们还可以证明

这个dv除以dz就是它的

剪应变的

对时间的变化率

称作剪应变的速率

我们来看

dv除以dz

v等于多少呢

就是它在x方向的位移

dξx除以dt

我们把这个交换一下它的求导

于是就是dξx除以dz

然后再对t来求导

这一项大家看到

就是谁呢

就是剪应变

于是

就等于剪应变对时间的变化率

我们称之为剪应变的速率

所以呢

我们看到

牛顿摩擦定律

就是流体的剪应力

与流体质元速度的空间变化率

成正比

也就是说

与应变的速率成正比

所以这就是剪应变的速率

那么我们对比胡克定律

胡克定律

如果是弹性变形的话

它的剪应力等于

它的这个剪切弹性模量

乘以剪应变

这是对比这个

我们看到这个在流体里面

它的剪应力

是跟它的剪应变的变化率

成正比

或者是它的速度的空间变化率

成正比

我们看

不可压缩的牛顿流体

在水平圆管里边流动

推导出了哈根泊肃叶公式的时候

我们曾经推导出它的流速分布来

由这流速分布

我们就可以把

剪应力算出来

剪应力这是什么呢

这是这个侧面上的

圆柱侧面上的

z方向上的剪应力

就等于它的这个z方向的速度

对r求导

再乘以它的黏度

所以这就是把剪应力求出来了

那么把这个结果代进来

就等于负的P1减P2除以2l

所以我们就得到了这个

在哈根泊肃叶公式里面

所得到的这个速度分布

就求出来了

在圆柱体里面在

圆柱侧面上

剪应力的大小

就可以计算出来

剪应力最大值

出现在管壁上

管壁就把这r取做大R

于是就等于这个结果

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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