Video在线视频

我通过实验测量的这转动惯量

我在计算里边不太方便

所以就引入了一个回转半径

由量纲我们知道

转动惯量

应该是质量乘以长度的平方

我就令

以这个转动惯量

已经测出来的转动惯量

等于它的总质量乘以一个ρ方

大家注意这个ρ

不是质量密度

指的是长度

叫回转半径

等于一个质量乘以回转半径的平方

于是回转半径的定义

就等于根号下

转动惯量除以质量

这就是刚体的回转半径

回转半径体现了

刚体质量它的分布情况

分布的越远

这个ρ越大

这是我们说的这个回转半径

下面我们继续讨论

这个转动惯量的计算

我们发现对于一个确定的刚体

当你转轴位置不一样的时候

转动惯量是不一样的

这样的话

如果你每次都要直接计算

就增加了你计算中的困难和麻烦

于是我们有两个定理

特别重要的是平行轴定理

可以节约或者减少你的计算

刚体质量是m

大家看这刚体的质量是m

现在我讨论这个刚体对这个轴

固定轴的转动惯量

我怎么办呢

我不直接计算

我现在呢

在刚体上它的质心是c点

我过c点做一个z′轴跟它平行

如果你知道

过z′轴的转动惯量

我们计为Ic

那么就可以直接计算出

对z轴的转动惯量

什么关系呢

就是这个关系

对于z轴的转动惯量

等于对过质心的

z′轴的转动惯量

加上质量乘以d方

这d是什么呢

d是两个z轴跟z′轴之间的距离

那么我们现在来证明一下

这平行轴定理

大家看

这个我对z轴的转动惯量

现在我在刚体上

选一个质元mi

对它的转动惯量

这是它的ξi

就等于谁呢

等于mi乘以ξi的平方来求和

那ξi平方可以等于

这两个的ξ矢量的点积

大家看

这个矢量等于这个矢量

加上这个矢量

所以等于它加它点上它加它

于是就得这个结果

于是ξi′的平方

一个是d方

还有一个是2倍的ξi′点上d

等于三项

那么这一项大家看

这一项是miξi′的平方ξ

i′是这个

所以这一项

就是刚体对z′轴的转动惯量

也就是ic

然后这一项

因为d方是常数可以提出来

就等于质量先求和再乘d方

等于总质量乘以d方

而当中这交叉项

我们可以证明是零

因为什么呢

把这个d是常矢量提出来

等于这个求和

这个求和是零的

大家看

这个求和等于谁呢

等于是这个mixix对它求和

就是x分量求和

这是y分量求和

而我们又知道

对于质心来说

这一项的求和是零

这一项求和是零

所以交叉项是零

于是得到这个结果

我们就证明了平行轴定理

平行轴定理

是非常常用的

计算转动惯量的公式

大家看这是一个例子

这是刚才说的细长轴

我们刚才

知道细长轴的一个转动惯量

对谁呢

过它的中心

垂直它的转动惯量

也就是过质心的转动惯量

这大家不知道还记得不记得

它等于12分之一ml平方

现在要计算什么呢

我们最常用的

这个细杆绕着过它端点

跟这杆垂直轴的转动惯量

这是我们最常用的

现在要求

对z轴的转动惯量

对z轴的转动惯量就等于

对质心轴的转动惯量

加上m乘以这个距离的平方

这个距离是二分之l它的平方

加上12分之ml的平方

最后结果三分之ml平方

这个结果大家也应该记住

也是非常常用的

就一个细长杆

绕着过它端点的一个

跟它垂直轴的转动惯量

是三分之一ml平方

再看第二个例子

这是一个细杆

头上是一个球体

半径为R的质量为m2的球体

这个细杆的长度是l

质量是m1

现在有一个跟它这个杆垂直的轴

z轴

让你计算一下

整个这个刚体把它看作一体

对它的转动惯量

我们刚才说

转动惯量可以分布求和

所以整个刚体对它的转动惯量

等于细杆的转动惯量

加上球的转动惯量

细杆的转动惯量

三分之m1l平方

球体对它的转动惯量

应用平行轴定理

先是对过质心的

对称轴的转动惯量

刚才已经计算了

是五分之二m2R方

然后再计算整个的质量

乘以这个距离的平方

就是m2乘以距离是R加上l的平方

计算最后就是它

这就是平行轴定理

下面再说一个垂直轴定理

垂直轴定理

用的比较少

我们知道就可以了

垂直轴定理应用的比较简单

是因为它只对薄平板才适用

一个很薄的平的一个板

才适用于垂直轴定理

就是厚度可以忽略

那么这个垂直轴定理

是什么意思呢

在这平板上

我建立一个x y坐标

那z轴就跟这薄平板垂直

薄平板对于z轴的转动惯量

等于薄平板

对x轴转动惯量Ix

与薄平板

对y轴转动惯量Iy之和

也就是对z轴转动惯量

等于对x轴转动惯量

加上对y轴转动惯量

这个非常简单

因为转动惯量应该是ξ平方dmξ

平方对于z轴转动惯量

应该是x平方加y方dm

x平方dm的积分

加上y方dm的积分

忽略薄平板的厚度

于是x平方的积分

相当于对y轴的转动惯量

y的平方对dm积分

相当于对x轴的转动惯量

所以对z轴转动惯量

就等于Iy加上Ix

这就证明了垂直轴定理

我们看一个例子

求质量为m

半径为r的

一个均匀的薄圆盘

厚度非常小

可以看作一个薄平板

求谁呢

求这个薄平板

对过它直径的

一个轴的转动惯量

我们刚才讨论过

一个均匀的圆盘

对垂直于它的

平面的一个对称轴的

转动惯量是计算过

大家不知道还记得不记得

等于二分之一mr方

现在不是对这垂直轴了

是过这个面的对称轴的一个

轴的转动惯量

所以就可以应用

垂直轴定理

现在我们知道

因为是圆的

所以任何一个过直径的

轴的转动惯量都应该相等

于是呢

我们在圆盘上

任意做出一个直角坐标系来

一个x轴 一个y轴

这样的话对x轴的转动惯量

跟对y轴的转动惯量

是应该相等的

那么对z轴转动惯量刚才我们说

是二分之mr方

于是我由垂直轴定理

它应该等于它加它，

而这俩又相等

所以Ix等于Iy

等于二分之Iz

等于四分之mr方

我们就计算出

它的转动惯量