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第六节

波的衍射 反射 折射

以及多普勒效应

波传播过程中

遇到障碍物

或者小孔呢 要绕射

也就是我们称之为衍射

在介质的交界面上

会产生反射和折射

那么这就是波的普遍性质

惠更斯原理

反射和折射定律

我们由惠更斯原理来讨论

波的传播方向问题

惠更斯原理

不涉及到波的具体性质

它是关于波的

传播的一个普遍的原理

我们看原理

我们在前边讨论机械波的时候

我们曾经说过

那么波源振动

带动了它旁边的介质来振动

旁边的介质又带动

它旁边的介质的振动

所以在波传播到的每一点

它都可以作为波源

来带动它下游的介质的振动

这是一种物理的本质

那么惠更斯

就把这种物理思想

推广到所有的波动

然后把它作为一个

非常准确的描述

就是惠更斯原理

在波传播的过程中

介质中波传播到的各点

都可以看作

开始发出子波的点波源

由此以后的某一时刻

在波前进方向上

在前进方向上

这些子波的包络面

就是实际的波

在这一时刻的波前

所谓包络面

就是我们通常所说的公切面

这样的话

就非常严格的准确的描述出了

如何去判断波的传播

波的传播方向的问题

我们现在就用惠更斯原理

来说明

在各项同性的均匀介质中

波沿直线传播

咱们看

这是一个平面波

假设它在某一时刻

传播到这个位置

这是它的波前

也就是同向面

是一个跟波线垂直的一个平面

传播到这上以后

那么这上边的各个点

都可以发出子波

是点波源

我们知道

点波源发出的是球面波

所以这些点波源

同时开始发出球面波

那么在某一时刻

这些球面波的半径

都是相等的

于是这些球面波的公切面

也是跟原来那个波面

平行的一个平面

于是这样讨论下去

这个波就是沿着直线传播

我们再看球面波

假设某一时刻

波到达了波面

是一个球面

球面上各点

同时作为子波源

发出球面波

那么在过一段时间

这些球面波的半径

是相同的

我们做这些个子波的包络面

也就是公切面

它仍然是跟前边这球面

同心的一个球面

于是这个球面波

也沿着直线传播

这样我们就说明

在各项同性均匀的介质中

波是沿着直线传播

下面我们用惠更斯原理

说一下波的衍射

这个平面波遇到一个小孔

传播方向就要偏离它的直线方向

也就是我们说的

绕射或者衍射

我们看它是平面波

到达了小孔

仍然是一个平面波

那么小孔上各个点

同时发出子波

子波也是球面波

那么过一段时间

这是子波的球面波

它的半径是相同的

在这些位置

它的公切面还是平面

到了这些位置

它就不是平面了

而是球面

于是这些方向的波

还是沿着直线传播

到了这里就偏离了直线

这就是衍射现象

这样我们看到

如果小孔越小的话

那么衍射的波占的比例就越大

所以小孔衍射现象

就比较明显

下面呢 我们讨论

反射和折射定律

平面波入射

大家看

这是两种介质的交界面

是一个平面

现在一个平面波入射

有个反射波

它还有一个折射波

这个夹角就是入射角

反射波跟法线夹角

就是反射角

折射波与法线夹角就是折射角

下面我们就讨论一下折射定律

就是反射角的正弦

与入射角的正弦之比

折射角的正弦

与入射角的正弦之比

是与什么有关

就是反射和折射定律

t时刻

这个波线到达了A点

那么到达A点

是在界面上的一个点

那么这一时刻开始

从A点就向介质1和介质2

发射子波

是球面波

那么

陆陆续续的这些波线

都到达了界面上

到达界面之后都开始

向第一个介质和第二介质

发射子波

就是球面波

到了t+τ时刻

波线到达了C点

那么我们现在

在t+τ时刻

这个来做这些波面的公切面

也就是包络面

那么t+τ时刻

这个的半径

A点发射的球面的半径是r′

等于是v′乘以τ

t+τ时刻

A点在介质2

发射的球面波的半径是r2

它是等于多少呢

等于v2τ

我们现在做这些个

在介质1里

这些球面子波面的公切面

就是CD

CD跟球面相切于D点

它到这儿的距离

就是刚才说的r′v′τ

这个公切面

跟这个球面相切一点

它的半径就是刚才说的

r2等于v2τ

这是反射波t+τ时刻的波前

于是反射波的波线

跟它垂直

我们就确定了

反射波的波线

以及它的方向

同样折射波的波线

也跟它的

这一时刻的波前垂直

也就确定了

折射波的波线和它的方向

那么

入射光的光线

跟法线的夹角是入射角

反射波的波线

与法线交角是反射角

折射波的波线

与法线夹角是折射角

我们由三角形知识知道

入射角等于这个角

因为这个角的两边

和入射角的两边互相垂直

所以它相等

类似可以证明

这个角等于反射角

这个角等于折射角

下面我们就来讨论

入射角正弦

反射角正弦

折射角正弦

它之间的关系

我们来从图上看一下

这个角等于入射角

它的正弦等于BC除以AC

这个角等于反射角

它的正弦等于r′除以AC

这个角等于折射角

它的正弦等于r2除以AC

所以我们看到

三个正弦都除以AC

所以它们的比值

就取决于这个长度

这个长度和这个长度

于是

我们就可以来得到

反射角的正弦

比上入射角的正弦

等于v1′τ除以v1τ

于是就等于v1′除以v1

这就是反射定律

反射角的正弦

除以入射角的正弦

等于反射波的波速

除以入射波的波速

那么有人说了

同一介质里

波速不应该相等吗

我们不要忘记

波还分纵波跟横波

所以在同一介质里面

两种不同性质的波

波速可能不等

假如波速相等的话

反射波的波速

等于入射波的波速的话

那么反射角就等于入射角

类似我们可以得到

折射角的正弦

除以入射角正弦

等于v2除以v1

因为它的正弦

等于v2τ除以AC

它的正弦等于v1τ除以AC

两个一比τ消掉了

就v2除以v1

这就是折射定律

于是呢

我们就由惠更斯原理

推导出反射定律

和折射定律

对于光学来说

定义一个

介质对光波的绝对折射率n

n等于谁呢

n等于真空中的光速c

除以光波在介质中的波速v

于是我们看到

v与n成反比

于是折射定律我们看

它是等于v2除以v1

就应该等于n1除以n2

于是可以写成一个对称形式

光学的折射定律

就是n1乘以sinθ1

等于n2乘以sinθ2

这就是光学的折射定律

引入了介质的绝对折射率n

我们看全反射

在学习光学的时候

我们学过全反射

如果n1大于n2的话

那么我当θ1

等于一个临界角

等于arcsinn2除以n1的时候

我的折射角

恰好等于二分之π

于是当入射角

大于临界角的时候

就全部反射没有折射

这就是光学的

全反射的情况

类似我们机械波

也有全反射

如果v1小于v2

那么当入射角等于临界角

等于arcsinv1除以v2的时候

折射角恰好等于二分之π

于是当入射角

大于临界角的时候

就出现了全反射