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Video课程教案、知识点、字幕

第五

受迫振动稳态时的功能关系

速度共振

有人提出问题

说是稳态的时候

我振子做简谐振动

那么系统的机械能

是不是应该等于常数呢

策动力做的功是不总是正的呢

我们要仔细分析一下

虽然它做着简谐振动

但是它的稳态时振子的机械能

并不是常数

稳态的时候

振子机械能是动能加上势能

这是它的位移

这是它的速度

它的k等于mω0平方

代进去之后我们看到

机械能是二分之mA方

里面是ω平方sinωt+ф的平方

加上ω0的平方

cosωt+ф的平方

因为ω不等于ω0

所以它并不是常数

那么它是随着时间变化的

我们用一下这个倍角公式

可以把这个平方项

化成这个形式

把这个平方项化成这个形式

我们看到呢

其实势能

和动能之和也就是机械能

它虽然做着稳定的简谐振动

但它机械能不是常数

而是也做着一个简谐振动

那么

只有当ω等于ω0的时候

机械能才是常数

机械能以2ω做简谐振动

我们求一下

机械能它一个周期的时间平均值

这个确实是一个常数

四分之mA方ω

平方+ω0平方

它确实是一个常数

下面我们求一下

策动力和阻力它的功率

看一看

它是不是都是正的

或者都是负的

策动力的功率

等于力乘以速度

力是Fcosωt

速度是这个值

然后利用一下积化和差

两个三角函数相乘的积

可以化成这样的一个

两个三角函数的和

这样的话我们看到

策动力做的功

也随时间变化

我们注意sinф是小于零的

因此这个策动力做的功

有可能是正的

也有可能是负的

所以策动力的功

是可正可负的

随着时间变化

当然

策动力的功率的平均值

应该是一个正数

那么看一下阻力的功率

阻力的功率

也等于阻力乘以速度

阻力是负的bv

于是呢

乘起来以后是负的bv方

等于这个结果

大家看

阻力功率虽然也随时间变化

但它总是小于零的

那么阻力功率的平均值

它等于负的mδω平方A方

跟我们刚才看到的

策动力一个周期的

功率的平均值是大小相等

符号相反

因此在一个周期里面

策动力的功率的平均值

跟阻力的功率平均值

加起来等于零

因此它才是一个

稳定的周期运动

因此呢

这个机械能一个周期的平均值

才是个常数

我们再看速度共振

刚才我们已经求出来了

策动力的功率的平均值

它或者是v方

都是正比于ω平方A方的

就是策动力的功率的平均值

是正比于ω平方A方

速度的平方

也正比于ω平方A方

那么ω平方A方

大家看等于多少呢ω

平方A方

是等于h除以分母的这么多

那么ω平方一乘

我把上下都除以ω平方

于是ω平方A方

就正比于ω

0平方减去ω平方的平方

除以ω平方

加上4倍的δ平方

也就是说

阻力的功率的平均值

速度平方都正比于这一项

因此我们看到

这一项随着频率不同

它也是不同的

那么什么时候这个最大呢

也就是它的最大值是什么情况呢

一看就可以知道

当ω等于ω0的时候

这个最大

所以

我们说当ω等于ω0的时候

它的速度最大

也就是说

策动力的功率的平均值最大

这时候我们称为速度共振

所以ω

等于ω0的时候

是速度共振

也是我输入的策动力的功率

是最大的

这样的话我们就看到

对于受迫振动

当我其他物理量都固定不动

那么它的振幅

它的速度

都是随着策动力的频率而改变

这样的话就出现两个共振

一个是位移共振

当策动力的频率

等于它的共振频率的时候

它的振幅最大

那么这就是位移共振

当ω等于ω0的时候

它的速度最大

策动力的功率最大

这时候称为速度共振

所以有两个共振

我们能够一般观察到的

就是位移共振

但是

位移共振的时候

这个策动力频率

并不等于ω0

它是小于ω0的

现在我们看ω

等于ω0时候的特点

第一个特点

当ω等于ω0的时候

策动力功率的平均值最大

速度最大

我们称之为速度共振

第二个

在小阻尼的情况下

近似为位移共振

因为在小阻尼情况下

这个位移共振频率接近ω0

第三个

在ω等于ω0的时候

E等于二分之mω0平方A方

它等于常数

这是这种情况

那么

它等于常数

正好就是策动力的功率

加上阻力功率等于零

就是随时随地的

这个策动力的功率

总是跟阻力功率相互抵消

保证了机械能等于常数

这也是ω等于ω0时候的

一个特点

最后一个特点

就是ф等于负的二分之π

就是策动力的位相超前

受迫振动的位相二分之π

那么这就是它的几个特点

好这部分就讲到这儿

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绪论

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-§1 矢量简介

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-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

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-§1牛顿力学.力

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-§3 牛顿力学应用

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-§3机械能定理.机械能守恒

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Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

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-§2质点系角动量定理

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