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Video课程教案、知识点、字幕

我们下面讨论

滚对的一种特殊的

非常常见的很重要的情况

什么呢

纯滚动

滚动是

平面运动的一种常见的形式

而纯滚动又是滚动运动中

一种最重要的运动形式

所以讨论纯滚动

什么是纯滚动呢

我们刚才说

平面运动有很多的形式

一种非常简单的

非常重要的形式

就是一个物体

在一个支撑面上进行滚动

那么纯滚动

就是刚体跟支撑面接触的点

假设是Q点的话

它相对支撑面没有滑动

那么我们就叫无滑动滚动

又叫纯滚动

这个时候

既然接触点

它相对支撑面没有滑动

说明这一点

在这一时刻它的速度是零

这就是纯滚动的特点

就是刚体上

注意

这个点是指的刚体上

刚体上跟支撑面接触那个点Q点

在这瞬时速度为零

跟支撑面没有相对滑动

我们就称为纯滚动

我们如果把Q点选作基点的话

那么在这一时刻

整个刚体就好象是绕着

过Q点的这个轴的一个

纯粹的转动

于是就是刚体上任意点

它的速度就是ω叉上ξ′矢量

瞬心

那么既然我们说在这一时刻

把整个刚体

看作绕过基点轴的一个单纯的转动

所以这个Q点

又称为瞬心

就是瞬时转动中心

瞬时轴是过Q点的

跟这个转动平面垂直的

注意

Q点速度是零

但是它的加速度绝对不是零

它如果速度也是零

加速度也是零它就不动了

但实际上Q点在下一时刻

要离开这个支撑面的

纯滚动的特点

我们来看一下

首先因为Q点

跟支撑面没有相对滑动

所以这时候的摩擦力是静摩擦力

所以它做的合功是零

在平面上纯滚的话

我们可以说明

它Q点的加速度

是垂直平面向上的

大家看

这一点P1点是Q的从前

这个P2点是Q的将来

那么P1点在这一时刻

它的速度的x分量

vx大于零

然后变到这一点Q点的时候

它的x分量的速度是等于零

P2x是大于零

所以从大于零等于零

再到大于零

说明在这一点上

Q点上它的x方向加速度是零

所以它水平加速度是零

那么再看y方向

这个点的y方向速度分量

v1y小于零

这一点的速度的y分量是等于零

它y分量v2y是大于零

从小于零到等于零到大于零

说明在这一点有一个

向上的加速度

所以它的加速度是大于零的

这就说明了

Q点它的加速度

是垂直平面向上的

如果是一个圆周

在平面上纯滚的话

那么圆心的速度加速度

有这样的关系

圆心的速度vo

应该等于ω叉r

因为你在这一刻

它的速度应该等于是

它不是纯滚嘛

所以它的速度等于ω叉它

而这个关系是一直都对的

就是它下面再走

仍然是这个关系

是对的

所以它的速度

就等于ω乘r沿着x方向

所以这个关系式总是对的

所以如果是一个圆周

在平面上纯滚的话

它的圆心的速度等于ω叉r

那么它的加速度

应该等于是对它来求导

大家看这个导数

其中r是常数

x是单位矢量

也是不变的

所以只应该对它求导

于是加速度

就是α乘以r再乘以x

也就是α叉r

这就是圆心的加速度

等于角加速度叉上r

圆心的速度等于ω叉r

这就是一个圆周

在平面上纯滚的话

它的重要的关系

那么瞬心加速度

我们可以证明刚才说

我定性讨论的时候说明

瞬心加速度是垂直平面向上的

我们现在还可以进一步

把这个圆周在纯滚的时候

它的瞬心的加速度可以求得出来

就是如果圆周纯滚的话

可以计算出

它的瞬心的加速度

应该等于多少呢

等于ω平方

这是它的角速度ω平方

乘以r矢量

所以它竖直向上而且等于它

下面我们来证明这一点

选谁呢

选O做基点

平动的参考系来讨论这个问题

O就是圆心

于是Q点加速度

就等于它的相对O点的

这个动参考系S′系里边的相对加速度

加上O点的加速度

那么相对加速度大家看

它是以圆心为参考系的时候

Q点相对于它做一个圆周运动

所以它的相对加速度

等于切向加速度

加上一个向心加速度

切向加速度

因为这是这么转

Q点是向后的

所以它应该就是

负的αr乘以x

这个是在这个

以圆心为平动的一个S′系里面

Q点是这么样的向后运动

所以它的切向加速度

应该是负的αrx

这是法向加速度

那么刚才说了

一个圆周在平面上纯滚的时候

O点的加速度是αrx

于是这两个互相抵消了

最后结果ω平方r

所以

一个圆周在平面上纯滚的时候

它的Q点的瞬心的加速度

应该是ω平方r

如果圆周在曲面上纯滚

咱们刚才说在平面上纯滚

这个平面不一定非得是水平面

斜面都可以

如果现在不是在平面上

在一个曲面上

圆周纯滚的话

那么这个圆心的切向加速度

仍然是α乘r

那么aQ垂直切平面

这我们就不去证明了

这是它的一种关系式

最后要说一下

我们说在纯滚情况下

接触点是瞬心

但是其实对于一般的刚体

它都是有瞬心的

比如说

我这刚体做一个

任意的一个平面运动

那么这点质元的速度是这个方向

这质元的速度是这个方向

我过它做垂线过它他做垂线

两个的焦点

就是在这一时刻

这个刚体平面运动的瞬心

所以一般情况下

刚体做平面运动都是有瞬心的

但是为什么

我们不去讨论这些情况呢

因为这样的瞬心用处不太大

真正常见的是

纯滚动的情况下

瞬心非常好确定

而且它的特点很突出

所以我们主要讨论这种

纯滚动的瞬心情况

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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